11.5.20. Двухканальный магнитный перераспределитель энергии снарядов имеет следующую конструкцию. Две металлические трубы с прорезью соединены металлическими перемычками так, как изображено на рисунке. Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено вдоль оси труб. Вдоль оси каждой трубы движутся одинаковые длинные сверхпроводящие снаряды. Один из снарядов, имеющий скорость $3v$, догоняет второй снаряд, имеющий скорость $v$. Длина каж дого снаряда $l$, сечение $s$, масса $m$. Сечение каждой трубы $S$. Определите скорость снарядов после их взаимодействия. Сопротивлением трубы пренебречь.
К задаче $11.5.20$
Решение
Качественно рассмотрим картину. Для этого удобно перейти в систему центра масс, ведь в ней снаряды движутся навстречу друг другу каждый со скоростью $\upsilon$.
В свободной от снарядов части трубы энергия на единицу длины равна:
$$\omega_0 = \frac{B^2 S}{\mu_0}$$
В сечении каждого снаряда в обоих трубах индукция имеет другое значение которое определяется законом сохранения магнитного потока:
$$B_1 = \frac{2BS}{2S - s}$$
Отсюда энергия на единицу длины в сечении с одним снарядом:
$$\omega_1 = \frac{2B^2 S^2}{\mu_0 (2S - s)}$$
Ну и наконец если в сечении два снаряда индукция равна:
$$B_2 = \frac{BS}{S-s}$$
Энергия на единицу длины:
$$\omega_2 = \frac{B^2 S^2}{\mu_0 (S - s)}$$
Пока снаряды идут без пересечений, энергия равна:
$$U_1 = 2\omega_1l + \omega_0L$$
Когда снаряды немного перекрывают друг друга на величину x, энергия равна:
$$\Delta U = -2\omega_1 x + \omega_2 x + \omega_0 x$$
Подставим $x=l$ и найдем:
$$\Delta U = \frac{B^2 S s^2 l}{\mu_0 (2S - s)(S-s)}$$
Если в этой системе скорости хватает чтобы дойти менее чем до полного перекрытия, то у нас аналог абсолютно упругого удара, если нет,то скорости остаются прежними:
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = 3 \upsilon$$
$${\upsilon_2}' =\upsilon$$
Ответ
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
