| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.8.3.$ При нормальном падении волны на жесткую стенку возникает возмущение, при котором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падающую волну налагается идущая симметрично из-за стенки перевернутая волна смещений, то получится возмущение с нулевым смещением и требуемыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображенной на рисунке падающей волны распределение смещения и скорости среды, когда волна «войдет в стенку» на $1/6$, $1/2$, $2/3$ своей длины. | | $3.8.3.$ При нормальном падении волны на жесткую стенку возникает возмущение, при котором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падающую волну налагается идущая симметрично из-за стенки перевернутая волна смещений, то получится возмущение с нулевым смещением и требуемыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображенной на рисунке падающей волны распределение смещения и скорости среды, когда волна «войдет в стенку» на $1/6$, $1/2$, $2/3$ своей длины. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Смещения | | #### Смещения |
| | | |
| Длиный участок волны описывается $y=\dfrac{1}{2}x+C$, а короткий участок волны описывается $y=-x+C$ (где $C$ в каждом случае есть постоянная, подбирающаяся по ситуации). Каждая волна пусть занимает $6$ единиц по оси горизонтальной $x$. Амплитуда смещения пусть равна $2$ для одинаковости масштабов по вертикали и горизонтали. Опишем результат реального наложения волн, а другие участки без наложения совпадают с одной из волн на реальной области ее нахождения. | | Длиный участок волны описывается $y=\dfrac{1}{2}x+C$, а короткий участок волны описывается $y=-x+C$ (где $C$ в каждом случае есть постоянная, подбирающаяся по ситуации). Каждая волна пусть занимает $6$ единиц по оси горизонтальной $x$. Амплитуда смещения пусть равна $2$ для одинаковости масштабов по вертикали и горизонтали. Опишем результат реального наложения волн, а другие участки без наложения совпадают с одной из волн на реальной области ее нахождения. |
| | | |
| Далее при сложении функций начало отсчета $O$ координат помещаем в центральной точке картины на стенке. | | Далее при сложении функций начало отсчета $O$ координат помещаем в центральной точке картины на стенке. |
| | | |
| - Вхождение на $1/6$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций | | - Вхождение на $1/6$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(-1-x\right)=-2x | | y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(-1-x\right)=-2x |
| $$ | | $$ |
| | | |
| на реальном отрезке наложения $[-1;0]$. | | на реальном отрезке наложения $[-1;0]$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| - Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$ | | - Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=x, | | y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=x, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$: | | а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-3-x\right)=-1{,}5-\frac{1}{2}x. | | y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(-3-x\right)=-1{,}5-\frac{1}{2}x. |
| $$ | | $$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| - Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций | | - Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $y_\text{п}$ и обратной $y_\text{о}$ функций |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1+\frac{1}{2}x\right)=x | | y_\text{п}+y_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(-1+\frac{1}{2}x\right)=x |
| $$ | | $$ |
| | | |
| на реальном отрезке наложения $[-2;0]$. | | на реальном отрезке наложения $[-2;0]$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| #### Скорости | | #### Скорости |
| | | |
| Сивухин сказал, что давление $P$ и скорость $v$ среды связаны так $P=\rho cv$, где $\rho$ есть плотность среды и $c$ есть скорость волны. И еще $P=E\varepsilon$, где $E$ есть модуль Юнга и $\varepsilon$ есть относительное смещение. Тогда | | Сивухин сказал, что давление $P$ и скорость $v$ среды связаны так $P=\rho cv$, где $\rho$ есть плотность среды и $c$ есть скорость волны. И еще $P=E\varepsilon$, где $E$ есть модуль Юнга и $\varepsilon$ есть относительное смещение. Тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v\sim\varepsilon, | | v\sim\varepsilon, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| то есть скорость среды пропорциональна смещению в данной точке. | | то есть скорость среды пропорциональна смещению в данной точке. |
| | | |
| По Сивухину в волне сжатия скорость среды совпадает с направление скорости распространения волны, а в волне разрежения наоборот связаны эти скорости. | | По Сивухину в волне сжатия скорость среды совпадает с направление скорости распространения волны, а в волне разрежения наоборот связаны эти скорости. |
| | | |
| В нашем случае волны скоростей двигаются навстречу друг другу (волна сжатия слева, волна разрежения справа: скорости обеих волн одного знака!): | | В нашем случае волны скоростей двигаются навстречу друг другу (волна сжатия слева, волна разрежения справа: скорости обеих волн одного знака!): |
| | | |
|  | |  |
| $$ | | $$ |
| v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(1+x\right)=2 | | v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1-x\right)+\left(1+x\right)=2 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| на реальном отрезке наложения $[-1;0]$. | | на реальном отрезке наложения $[-1;0]$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| - Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$ | | - Вхождение на $1/2$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций на реальном наложении на отрезке $[-1;0]$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(1{,}5-\frac{1}{2}x\right)=3, | | v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)+\left(1{,}5-\frac{1}{2}x\right)=3, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$: | | а на реальном отрезке наложения $[-3;-1]$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_\text{п}+v_\text{о}=\left(3+x\right)+\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=4{,}5+1{,}5x. | | v_\text{п}+v_\text{о}=\left(3+x\right)+\left(1{,}5+\frac{1}{2}x\right)=4{,}5+1{,}5x. |
| $$ | | $$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| - Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций | | - Вхождение на $2/3$. Сумма прямой $v_\text{п}$ и обратной $v_\text{о}$ функций |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(1-\frac{1}{2}x\right)=2 | | v_\text{п}+v_\text{о}=\left(1+\frac{1}{2}x\right)+\left(1-\frac{1}{2}x\right)=2 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| на реальном отрезке наложения $[-2;0]$. | | на реальном отрезке наложения $[-2;0]$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | | [1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| Смещения: | | Смещения: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Скорости: | | Скорости: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
