$3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$.
Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке.
Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$.
Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении).
Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони.
@@ -20,7 +20,7 @@Решение
Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы.
−
После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в Приложении.
+
После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной.
Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$.
Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится.
По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется.
Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей
$$
P=\rho cv,
$$
что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается
$$
E\varepsilon=\rho cv,
$$
@@ -44,7 +44,9 @@Решение
видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих.
−
Далее, можно складывать скорости среды волн (обоснование в Приложении). В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$).
+
Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dx=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной.
+
+
В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$).
Поэтому скорость в отколотом участке
$$
\boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.}
$$
Про откольное разрушение в книге [2].
#### Литература
[1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999.
u = 2P/(\rho c) = 250~\text{м/с};\quad l = c\tau/2 = 1~\text{см}.
$$
unchanged lines 24
### Условие
### Условие
$3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$.
$3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$.
Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке.
Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке.
Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$.
Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$.
Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении).
Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении).
Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони.
Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони.
@@ -20,7 +20,7 @@Решение
Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы.
Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы.
После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в Приложении.
После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной.
Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$.
Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$.
Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится.
Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится.
По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется.
По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется.
Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей
Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей
$$
$$
P=\rho cv,
P=\rho cv,
$$
$$
что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается
что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается
$$
$$
E\varepsilon=\rho cv,
E\varepsilon=\rho cv,
$$
$$
@@ -44,7 +44,9 @@Решение
видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих.
видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих.
Далее, можно складывать скорости среды волн (обоснование в Приложении). В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$).
Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dx=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной.
В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$).
Поэтому скорость в отколотом участке
Поэтому скорость в отколотом участке
$$
$$
\boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.}
\boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.}
$$
$$
Про откольное разрушение в книге [2].
Про откольное разрушение в книге [2].
#### Литература
#### Литература
[1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999.
[1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999.
