Edit to “Решение”
ru/3.8.8.md
+3 −0
| ### Условие | |||
| $3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$. | |||
|  | |||
| @@ -6,6 +6,9 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + | |||
| + | Предварительное: физика волновых процессов при столкновении тел хорошо описана в Сивухине том 1 при решении задачи о стокновении тел к параграфу 82. | ||
| + | |||
| Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке. | |||
| Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$. | |||
| Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении). | |||
| Плоскость пластины, противоположную плоскости взрыва, считаем свободной границей. | |||
| Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони. | |||
|  | |||
| Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы. | |||
| После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной. | |||
| Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$. | |||
|  | |||
| Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится. | |||
| По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется. | |||
| Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей | |||
| $$ | |||
| P=\rho cv, | |||
| $$ | |||
| что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается | |||
| $$ | |||
| E\varepsilon=\rho cv, | |||
| $$ | |||
| видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих. | |||
| Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dt=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной. | |||
| В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$). | |||
| Поэтому скорость в отколотом участке | |||
| $$ | |||
| \boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.} | |||
| $$ | |||
| Про откольное разрушение в книге [2]. | |||
| #### Литература | |||
| [1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999. | |||
| [2] Физика взрыва. Л.П. Орленко. 2004. | |||
| [3] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | |||
| [4] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| u = 2P/(\rho c) = 250~\text{м/с};\quad l = c\tau/2 = 1~\text{см}. | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 65 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$. | $3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$. | ||
|  |  | ||
| @@ -6,6 +6,9 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Предварительное: физика волновых процессов при столкновении тел хорошо описана в Сивухине том 1 при решении задачи о стокновении тел к параграфу 82. | |||
| Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке. | Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке. | ||
| Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$. | Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$. | ||
| Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении). | Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении). | ||
| Плоскость пластины, противоположную плоскости взрыва, считаем свободной границей. | Плоскость пластины, противоположную плоскости взрыва, считаем свободной границей. | ||
| Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони. | Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони. | ||
|  |  | ||
| Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы. | Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы. | ||
| После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной. | После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной. | ||
| Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$. | Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$. | ||
|  |  | ||
| Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится. | Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится. | ||
| По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется. | По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется. | ||
| Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей | Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей | ||
| $$ | $$ | ||
| P=\rho cv, | P=\rho cv, | ||
| $$ | $$ | ||
| что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается | что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается | ||
| $$ | $$ | ||
| E\varepsilon=\rho cv, | E\varepsilon=\rho cv, | ||
| $$ | $$ | ||
| видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих. | видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих. | ||
| Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dt=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной. | Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dt=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной. | ||
| В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$). | В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$). | ||
| Поэтому скорость в отколотом участке | Поэтому скорость в отколотом участке | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.} | \boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.} | ||
| $$ | $$ | ||
| Про откольное разрушение в книге [2]. | Про откольное разрушение в книге [2]. | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999. | [1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999. | ||
| [2] Физика взрыва. Л.П. Орленко. 2004. | [2] Физика взрыва. Л.П. Орленко. 2004. | ||
| [3] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | [3] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | ||
| [4] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | [4] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| u = 2P/(\rho c) = 250~\text{м/с};\quad l = c\tau/2 = 1~\text{см}. | u = 2P/(\rho c) = 250~\text{м/с};\quad l = c\tau/2 = 1~\text{см}. | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 65 | |||