Колебания и волны > Наложение и отражение волн > Задача 3.8.8

Условие

$3.8.8^*.$ Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве $P = 5\cdot10^4~\text{атм}$ и действует оно в течение времени $\tau = 4\cdot10^{−6}~\text{с}$. Скорость звука в броне $c = 5~\text{км/с}$, плотность брони $\rho = 8\cdot10^{3}~\text{кг/м$^3$}$.

Решение

Предварительное: физика волновых процессов при столкновении тел хорошо описана в Сивухине том 1 при решении задачи о стокновении тел к параграфу 82.

Считаем, что разрушения нет от давления сжатия в волне, идущей после взрыва в броне. Считаем, что плоская волна после взрыва распространяется без потерь в основном только в поперечном направлении пластины брони, как показано на рисунке.

Броню, которая по характеристикам близка к стали, при ударной нагрузке рассматриваем в приближении сильной хрупкости [1]. Это означает, что броня не будет выдерживать практически растяжение, то есть отрицательное давление. Явление хрупкости прямо описывается позже в задаче $3.8.9$.

Анализ будем делать с помощью диаграм зависимости деформации (относительной, что далее подразумевается) от координаты $\varepsilon(x)$ (см. задачу $3.8.2$). Так наглядно видна физика процесса (например, превращения энергии при отражении).

Плоскость пластины, противоположную плоскости взрыва, считаем свободной границей.

Рассмотрим диаграмму $\varepsilon(x)$ сразу после окончания действия давления $P$. Образованная волна сжатия, бегущая к свободной границе, занимают ширину по оси распространения $x$, равную $c\tau=20~\text{мм}$, что будем считать меньше толщины брони.

Пока эта волна движется до свободной границы, перемещаясь со скоростью звука $c$ с сохранением своей формы.

После касания этой волны свободной поверхности результирующую волну в броне находим наложением (сложением) прямой волны с прямой скоростью $\vec c$ и волны противоположной деформации с обратной скоростью $-\vec c$, идущей симметрично свободной границе (идея в задаче $3.8.5$). Обоснование возможности сложения деформаций в определении деформации $\varepsilon=dY/dx=dy_\text{п}/dx+dy_\text{о}/dx=\varepsilon_\text{п}+\varepsilon_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},\varepsilon_\text{п}$ есть смещение и деформация в прямой, $y_\text{о},\varepsilon_\text{о}$ есть смещение и деформация в обратной.

Посмотрим на диаграмму $\varepsilon(x)$ после касания падающей волны свободной поверхности спустя небольшое время по сравнению с $\tau$.

Видим, что пока после касания прошло время меньше $\tau/2$ в броне будет только область сжатия с отрицательной деформацией. Положительная деформация появится сразу спустя время $\tau/2$ после касания: в этот момент броня и разрушится.

По диаграмме Д2 первое растяжение появится на расстоянии $\boxed{c\tau/2=10~\text{мм}}$ от свободной границы, то есть такая часть металла отколется.

Из связи давления $P$ волны и скорости $v$ среды в бегущей

$$
P=\rho cv,
$$

что с учетом $P=E\varepsilon$ (где $E$ есть модуль Юнга) переписывается

$$
E\varepsilon=\rho cv,
$$

видим, что скорости всех элементов среды волн одинаковы в обеих бегущих.

Далее, можно складывать скорости среды волн. Обоснование возможности сложения таких скоростей в определении скорости $v=dY/dt=dy_\text{п}/dt+dy_\text{о}/dt=v_\text{п}+v_\text{о}$, где $Y$ есть результирующее смещение, $y_\text{п},v_\text{п}$ есть смещение и скорость среды в прямой, $y_\text{о},v_\text{о}$ есть смещение и скорость в обратной.

В момент откола скорости среды в прямой волне равны $\vec v$ (вдоль оси $x$), скорость среды в обратной волне равна так же $\vec v$ (использовано для краткости в бегущей волне свойство связи направления скорости среды и направления распространения волны, см. Сивухин и решение задачи $3.8.2$).

Поэтому скорость в отколотом участке

$$
\boxed{u=2v=\frac{2P}{\rho c}=250~\text{м/с}.}
$$

Про откольное разрушение в книге [2].

Литература

[1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999.

[2] Физика взрыва. Л.П. Орленко. 2004.

[3] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.

[4] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

$$
u = 2P/(\rho c) = 250~\text{м/с};\quad l = c\tau/2 = 1~\text{см}.
$$