New solution

Valter edited
View solution History
revision #19757 newer →
ru/7.2.9.md +61 −0
@@ -0,0 +1,61 @@
+### Условие
+
+$7.2.9.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
+
+### Решение
+
+В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: мишень представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности.
+
+#### 1. Вычисление поперечного импульса
+
+Для нахождения поперечного импульса $p_\perp$, который приобретает частица, летящая на расстоянии $x$ от оси пучка ($x \ll R$), воспользуемся интегральной формой теоремы Гаусса. Выделим мысленный бесконечный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы.
+
+Поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
+$$ \Phi = \int E_\perp \cdot 2\pi x \, dz = 2\pi x \int E_\perp \, dz $$
+
+По теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри цилиндра, деленному на $\varepsilon_0$. Наш мысленный цилиндр вырезает из тонкой сферической оболочки две маленькие площадки (на входе и на выходе). Площадь каждой такой площадки примерно равна $\pi x^2$.
+
+Суммарный заряд этих двух площадок (где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда оболочки):
+$$ \Delta q = 2 (\pi x^2 \sigma) = 2 \pi x^2 \sigma $$
+
+Приравниваем выражения:
+$$ 2\pi x \int E_\perp \, dz = \frac{2 \pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0} $$
+
+Отсюда находим интеграл поперечного поля вдоль всей траектории:
+$$ \int E_\perp \, dz = \frac{\sigma x}{\varepsilon_0} $$
+
+Поперечный импульс, получаемый частицей за время полета:
+$$ p_\perp = \int F_\perp \, dt = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int E_\perp \, dz $$
+$$ p_\perp = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v} $$
+
+#### 2. Геометрия траектории и фокусное расстояние
+
+Приобретя поперечный импульс $p_\perp$, частица начинает двигаться к оси пучка. Из подобия скоростей и геометрических размеров (где $f$ — искомое фокусное расстояние):
+$$ \frac{f}{x} = \frac{v}{v_\perp} $$
+
+Поскольку поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_\perp}{m}$, выражаем фокус:
+$$ f = x \frac{m v}{p_\perp} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$
+
+#### 3. Связь с параметрами условия
+
+Кинетическая энергия частиц пучка задается ускоряющей разностью потенциалов $V_0$:
+$$ \frac{mv^2}{2} = qV_0 \implies mv^2 = 2qV_0 $$
+
+Потенциал в центре полой заряженной сферы радиуса $R$ равен:
+$$ V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0} \implies \sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R} $$
+
+Подставляем $mv^2$ и $\sigma$ в формулу для фокусного расстояния:
+$$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left( \frac{\varepsilon_0 V}{R} \right)} $$
+$$ f = 2R \frac{V_0}{V} $$
+
+*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]