| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$? | | $7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка. | | В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| <b>1. Физическая модель и принцип суперпозиции</b>\ | | <b>1. Физическая модель и принцип суперпозиции</b>\ |
| Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы). | | Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы). |
| Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем: | | Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем: |
| 1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$. | | 1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$. |
| 2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий. | | 2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий. |
| Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$. | | Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$. |
| | | |
| <b>2. Первый поперечный импульс на входе</b>\ | | <b>2. Первый поперечный импульс на входе</b>\ |
| Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия. | | Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия. |
| Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска, по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект). | | Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска, по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект). |
| По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра: | | По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра: |
| $$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0} $$ | | $$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0} $$ |
| Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия: | | Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия: |
| $$ \int E_\perp dz = \frac{\sigma x}{2\varepsilon_0} $$ | | $$ \int E_\perp dz = \frac{\sigma x}{2\varepsilon_0} $$ |
| Поперечный импульс, который частица приобретает, пробивая это локальное поле: | | Поперечный импульс, который частица приобретает, пробивая это локальное поле: |
| $$ p_{\perp 1} = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int E_\perp dz = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ | | $$ p_{\perp 1} = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int E_\perp dz = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ |
| | | |
| <b>3. Проверка фокусировки внутри полости</b>\ | | <b>3. Проверка фокусировки внутри полости</b>\ |
| Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка. | | Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка. |
| Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$: | | Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$: |
| $$ f_1 = v t = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{m v}{p_{\perp 1}} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2 m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ | | $$ f_1 = v t = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{m v}{p_{\perp 1}} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2 m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ |
| Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$. | | Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$. |
| Потенциал сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$. | | Потенциал сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$. |
| Подставляем в $f_1$: | | Подставляем в $f_1$: |
| $$ f_1 = \frac{2(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 4R \frac{V_0}{V} $$ | | $$ f_1 = \frac{2(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 4R \frac{V_0}{V} $$ |
| Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси. | | Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси. |
| | | |
| <b>4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние</b>\ | | <b>4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние</b>\ |
| Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси: | | Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси: |
| $$ p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ | | $$ p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ |
| Полный поперечный импульс после вылета: | | Полный поперечный импульс после вылета: |
| $$ p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v} $$ | | $$ p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v} $$ |
| Итоговое фокусное расстояние $f$ всей системы: | | Итоговое фокусное расстояние $f$ всей системы: |
| $$ f = x \frac{m v}{p_\perp} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ | | $$ f = x \frac{m v}{p_\perp} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ |
| Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки: | | Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки: |
| $$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V} $$ | | $$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V} $$ |
| | | |
| --- | | --- |
| | | |
| <b>5. Строгий расчет для альтернативной модели (сплошной шар)</b><br> | | <b>5. Строгий расчет для альтернативной модели (сплошной шар)</b><br> |
| В официальном задачнике приведен ответ $f = 0.5 R \frac{V_0}{V}$. Этот ответ не только относится к другой физической модели (сплошной заряженный шар, простреливаемый насквозь, вместо полой оболочки), но и содержит грубую ошибку. Выведем точный ответ для сплошного шара. | | В официальном задачнике приведен ответ $f = 0.5 R \frac{V_0}{V}$. Этот ответ не только относится к другой физической модели (сплошной заряженный шар, простреливаемый насквозь, вместо полой оболочки), но и содержит грубую ошибку. Выведем точный ответ для сплошного шара. |
| | | |
| Если пучок проходит от $-\infty$ до $+\infty$ сквозь <b>сплошной</b> заряженный шар с объемной плотностью $\rho$, необходимо учесть действие поля на всем пути (как внутри, так и снаружи шара). Выделим бесконечную гауссову цилиндрическую трубку тока малого радиуса $x$, коаксиальную с пучком. Внутри этой трубки заряд находится только в пределах самого шара (на отрезке $[-R, R]$). | | Если пучок проходит от $-\infty$ до $+\infty$ сквозь <b>сплошной</b> заряженный шар с объемной плотностью $\rho$, необходимо учесть действие поля на всем пути (как внутри, так и снаружи шара). Выделим бесконечную гауссову цилиндрическую трубку тока малого радиуса $x$, коаксиальную с пучком. Внутри этой трубки заряд находится только в пределах самого шара (на отрезке $[-R, R]$). |
| Заряд внутри трубки: $\Delta q = \pi x^2 \cdot 2R \cdot \rho$. | | Заряд внутри трубки: $\Delta q = \pi x^2 \cdot 2R \cdot \rho$. |
| Применяя теорему Гаусса к этой бесконечной трубке, получаем точный интеграл поперечного поля: | | Применяя теорему Гаусса к этой бесконечной трубке, получаем точный интеграл поперечного поля: |
| $$ 2\pi x \int_{-\infty}^{+\infty} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \cdot 2R \cdot \rho}{\varepsilon_0} \implies \int_{-\infty}^{+\infty} E_\perp dz = \frac{\rho R x}{\varepsilon_0} $$ | | $$ 2\pi x \int_{-\infty}^{+\infty} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \cdot 2R \cdot \rho}{\varepsilon_0} \implies \int_{-\infty}^{+\infty} E_\perp dz = \frac{\rho R x}{\varepsilon_0} $$ |
| Полный поперечный импульс, получаемый частицей: | | Полный поперечный импульс, получаемый частицей: |
| $$ p_\perp = \int_{-\infty}^{+\infty} q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q \rho R x}{\varepsilon_0 v} $$ | | $$ p_\perp = \int_{-\infty}^{+\infty} q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q \rho R x}{\varepsilon_0 v} $$ |
| Фокусное расстояние для сплошного шара (через плотность $\rho$): | | Фокусное расстояние для сплошного шара (через плотность $\rho$): |
| $$ f_{спл} = \frac{m v^2 x}{p_\perp} = \frac{m v^2 \varepsilon_0 v}{q \rho R v} = \frac{2 \varepsilon_0 V_0}{\rho R} \tag{1} $$ | | $$ f_{спл} = \frac{m v^2 x}{p_\perp} = \frac{m v^2 \varepsilon_0 v}{q \rho R v} = \frac{2 \varepsilon_0 V_0}{\rho R} \tag{1} $$ |
| | | |
| Теперь необходимо строго выразить потенциал в центре сплошного шара $V$ через $\rho$. Для этого проинтегрируем радиальное поле $E(r)$ от бесконечности до центра: | | Теперь необходимо строго выразить потенциал в центре сплошного шара $V$ через $\rho$. Для этого проинтегрируем радиальное поле $E(r)$ от бесконечности до центра: |
| Вне шара ($r > R$): $E_{out} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ | | Вне шара ($r > R$): $E_{out} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ |
| Внутри шара ($r < R$): $E_{in} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ | | Внутри шара ($r < R$): $E_{in} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ |
| $$ V = \int_{0}^{\infty} E(r) dr = \int_{0}^{R} \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} dr + \int_{R}^{\infty} \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} dr $$ | | $$ V = \int_{0}^{\infty} E(r) dr = \int_{0}^{R} \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} dr + \int_{R}^{\infty} \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} dr $$ |
| $$ V = \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left( -\frac{1}{r} \right)\Bigg|_R^\infty = \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} $$ | | $$ V = \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left( -\frac{1}{r} \right)\Bigg|_R^\infty = \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} $$ |
| Отсюда выражаем плотность: $\rho = \frac{2\varepsilon_0 V}{R^2}$. | | Отсюда выражаем плотность: $\rho = \frac{2\varepsilon_0 V}{R^2}$. |
| Подставляем $\rho$ в формулу (1): | | Подставляем $\rho$ в формулу (1): |
| $$ f_{спл} = \frac{2 \varepsilon_0 V_0}{\left( \frac{2\varepsilon_0 V}{R^2} \right) R} = R \frac{V_0}{V} $$ | | $$ f_{спл} = \frac{2 \varepsilon_0 V_0}{\left( \frac{2\varepsilon_0 V}{R^2} \right) R} = R \frac{V_0}{V} $$ |
