| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $13.1.20^*.$ Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка? | | $13.1.20^*.$ Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Для строгого доказательства воспользуемся принципом Ферма: чтобы все параллельные лучи собрались в одной точке (фокусе) в одинаковой фазе, оптическая длина пути каждого луча от падающего волнового фронта до фокуса должна быть одинаковой. | | Для строгого доказательства воспользуемся принципом Ферма: чтобы все параллельные лучи собрались в одной точке (фокусе) в одинаковой фазе, оптическая длина пути каждого луча от падающего волнового фронта до фокуса должна быть одинаковой. |
| | | |
| Пусть параллельный пучок лучей падает вдоль оси $y$ из отрицательной бесконечности. Поместим искомый фокус в начало координат $F(0,0)$. | | Пусть параллельный пучок лучей падает вдоль оси $y$ из отрицательной бесконечности. Поместим искомый фокус в начало координат $F(0,0)$. |
| Выберем в качестве начального волнового фронта любую прямую $y = -h$ (где $h > 0$), перпендикулярную падающим лучам. | | Выберем в качестве начального волнового фронта любую прямую $y = -h$ (где $h > 0$), перпендикулярную падающим лучам. |
| | | |
| Рассмотрим произвольный луч, который пересекает фронт, падает на искомую поверхность в точке $M(x, y)$ и после отражения попадает в фокус $F(0,0)$. | | Рассмотрим произвольный луч, который пересекает фронт, падает на искомую поверхность в точке $M(x, y)$ и после отражения попадает в фокус $F(0,0)$. |
| Оптическая длина пути $L$ этого луча состоит из двух участков: | | Оптическая длина пути $L$ этого луча состоит из двух участков: |
| 1. Расстояние от волнового фронта до точки $M$: $l_1 = y - (-h) = y + h$. | | 1. Расстояние от волнового фронта до точки $M$: $l_1 = y - (-h) = y + h$. |
| 2. Расстояние от точки $M$ до фокуса $F$: $l_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$. | | 2. Расстояние от точки $M$ до фокуса $F$: $l_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$. |
| | | |
| Полный оптический путь: | | Полный оптический путь: |
| $$L = l_1 + l_2 = y + h + \sqrt{x^2 + y^2}$$ | | $$L = l_1 + l_2 = y + h + \sqrt{x^2 + y^2}$$ |
| | | |
| По условию идеальной фокусировки эта длина должна быть постоянной для любого луча (не зависеть от координаты $x$): | | По условию идеальной фокусировки эта длина должна быть постоянной для любого луча (не зависеть от координаты $x$): |
| $$y + h + \sqrt{x^2 + y^2} = L = \text{const}$$ | | $$y + h + \sqrt{x^2 + y^2} = L = \text{const}$$ |
| | | |
| Перенесем $(y + h)$ в правую часть. Обозначим постоянную величину $L - h$ как $p$ ($p > 0$): | | Перенесем $(y + h)$ в правую часть. Обозначим постоянную величину $L - h$ как $p$ ($p > 0$): |
| $$\sqrt{x^2 + y^2} = p - y$$ | | $$\sqrt{x^2 + y^2} = p - y$$ |
| | | |
| Возведем обе части в квадрат: | | Возведем обе части в квадрат: |
| $$x^2 + y^2 = (p - y)^2$$ | | $$x^2 + y^2 = (p - y)^2$$ |
| $$x^2 + y^2 = p^2 - 2py + y^2$$ | | $$x^2 + y^2 = p^2 - 2py + y^2$$ |
| | | |
| Сокращаем $y^2$ и выражаем $y$: | | Сокращаем $y^2$ и выражаем $y$: |
| $$x^2 = p^2 - 2py$$ | | $$x^2 = p^2 - 2py$$ |
| $$2py = p^2 - x^2$$ | | $$2py = p^2 - x^2$$ |
| $$y = \frac{p}{2} - \frac{x^2}{2p}$$ | | $$y = \frac{p}{2} - \frac{x^2}{2p}$$ |
