New solution

albert edited
View solution History
revision #20735 newer →
ru/3.5.30.md +70 −0
@@ -0,0 +1,70 @@
+### Условие
+
+$3.5.30.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb}
+
+\begin{document}
+
+Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется \textbf{разностью фаз $\varphi$} между ними.
+
+Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид:
+\[
+x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)
+\]
+
+Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями:
+\begin{align*}
+A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\[6pt]
+\operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}
+\end{align*}
+
+где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.
+
+\---
+
+\subsection*{1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$)}
+
+При низких частотах и малом затухании:
+\begin{itemize}
+ \item Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$.
+ \item Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$.
+ \item В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
+\end{itemize
+
+\textbf{Физический смысл:} Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет \textbf{упругая сила} (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
+\[
+F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}
+\]
+
+Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.
+
+\---
+
+\subsection*{2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$)}
+
+При высоких частотах:
+\begin{itemize}
+ \item Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$.
+ \item Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$.
+ \item В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
+\end{itemize
+
+\textbf{Физический смысл:} При высоких частотах определяющую роль начинает играть \textbf{инерция тела} (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением:
+\begin{align*}
+m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \\[6pt]
+&\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2}
+\end{align*}
+
+Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено \textbf{противоположно} внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).
+
+\end{document}
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]