| @@ -1,50 +1,53 @@ |
| Условие: |
| Условие: |
| |
| |
| Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны? |
| Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны? |
| |
| |
| Решение: |
| Решение: |
| |
| |
| Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними. |
| Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними. |
| |
| |
| Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид: |
| Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид: |
| \[ |
| |
| x(t) = A \cos(\omega t - \varphi) |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| $$x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)$$ |
| |
| |
| Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: |
| Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: |
| \begin{align*} |
| \begin{align*} |
| A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\[6pt] |
| A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \ |
| \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} |
| \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} |
| \end{align*} |
| \end{align*} |
| где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания. |
| где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания. |
| |
| |
| |
| 1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$) |
| |
| |
| |
| |
| При низких частотах и малом затухании: |
| При низких частотах и малом затухании: |
| Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. |
| Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. |
| Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. |
| Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. |
| В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$. |
| В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$. |
| |
| |
| Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени: |
| Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени: |
| \[ |
| |
| F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k} |
| |
| \] |
| $$F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}$$ |
| |
| |
| |
| |
| Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$. |
| Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$. |
| |
| |
| Высокие частоты ($\omega > \omega_0$): |
| 2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$) |
| |
| |
| При высоких частотах: |
| При высоких частотах: |
| Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. |
| Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. |
| Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. |
| Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. |
| В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$. |
| В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$. |
| |
| |
| При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: |
| Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: |
| \begin{align*} |
| \begin{align*} |
| m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) |
| m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \ |
| &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} |
| &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} |
| \end{align*} |
| \end{align*} |
| |
| |
| Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$). |
| Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$). |
| |
| |
| |
| Ответ: |
| |
| |
| При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$). |
| При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$). |
