Edits to “Литература”, “Альтернативное решение 3”, “Ответ”

igor edited Oct 22, 2026, 9:32 AM

View solution History

revision #22238 parent #19947 ← older newer →

ru/7.4.10.md +26 −4

			### Условие

			$7.4.10^*.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга.

			![К задаче $7.4.10$\|387x432, 25%](../../img/7.4.10/statement.svg)

			### Решение

			#### 1. Физическая модель и метод электростатических изображений
			В задачах подобного класса по умолчанию предполагается, что металлические грани прямого угла уходят в бесконечность. Это позволяет пренебречь краевыми эффектами и считать всю поверхность угла строго эквипотенциальной с нулевым потенциалом ($\Phi = 0$, привязанным к бесконечности).

			Металлический двугранный угол занимает ровно одну четверть пространства. Три наших реальных заряда летят в оставшемся пустом пространстве. Чтобы учесть влияние индуцированных на металле зарядов, применим метод электростатических изображений: мысленно уберем металлический угол и заменим его такими фиктивными зарядами, чтобы потенциал на месте бывших стенок всё равно остался нулевым.

			Здесь применяется изящная геометрическая хитрость: три исходных заряда уже образуют три вершины квадрата со стороной $a = d\sqrt{2}$ и диагональю $2d$. Чтобы занулить потенциал на границах угла, достаточно поместить всего один фиктивный заряд $+q$ в пустующую четвертую вершину квадрата (в ту область, где находился металл).

			Конфигурация из четырех зарядов по углам квадрата с чередующимися знаками ($-q, +q, -q, +q$) создает строго нулевой потенциал на своих средних линиях (осях симметрии, проходящих через середины противоположных сторон). Именно эти средние линии идеально совпадают с границами нашего металлического угла.

			Согласно теореме единственности в электростатике, для однозначного определения поля достаточно обеспечить правильное граничное условие ($\Phi = 0$ на стенках). Так как граница занулена, электрическое поле только в области реальных зарядов (в трех пустых квадрантах) будет абсолютно тождественно полю вакуумной конфигурации. Тот факт, что в воображаемой вакуумной модели потенциал за границей (в зоне фиктивного заряда) не равен нулю, не имеет значения — в реальности там находится толща проводника, электростатическое поле внутри которого строго равно нулю по определению.

			#### 2. Энергия электрического поля
			Ключевое отличие реальной системы от вакуумного «квадрата» состоит в том, что в реальности электрическое поле существует только в трех свободных квадрантах пространства. Внутри идеального проводника (в четвертом квадранте) макроскопического электростатического поля нет.

			Так как энергия локализована непосредственно в пространстве поля, а конфигурация полей в вакуумном эквиваленте полностью симметрична по четырем квадрантам, начальная энергия взаимодействия реальной системы $W_0$ составляет ровно $3/4$ от полной энергии вакуумной конфигурации $W_{\text{vac}}$:
			$$W_0 = \frac{3}{4} W_{\text{vac}}$$

			Вычислим $W_{\text{vac}}$ для четырех зарядов. Энергия складывается из взаимодействия по четырем сторонам квадрата (заряды разноименные, расстояние $d\sqrt{2}$) и двум диагоналям (заряды одноименные, расстояние $2d$):
			$$W_{\text{vac}} = 4 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(+q)(-q)}{d\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{2d} \right)$$
			$$W_{\text{vac}} = -\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0 d\sqrt{2}} + \frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2d)} = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( 1 - 2\sqrt{2} \right)$$

			Тогда начальная электрическая энергия нашей реальной системы:
			$$W_0 = \frac{3}{4} \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} (1 - 2\sqrt{2}) = -\frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d}$$
			#### 3. Кинематика и закон сохранения энергии
			Принципиально важно: фиктивный заряд $+q$ не обладает массой, это исключительно математический инструмент для расчета поля. Кинематика системы описывается строго для трех реальных частиц массой $m$.

			Из-за симметрии кулоновские силы, действующие на каждый из зарядов, направлены строго радиально к вершине угла. Частицы будут синхронно разлетаться, сохраняя форму растущего квадрата. На бесконечности потенциальная энергия поля обратится в нуль, а скорости всех трех частиц станут равны $v$.

			Запишем закон сохранения энергии:
			$$3 \frac{mv_0^2}{2} + W_0 = 3 \frac{mv^2}{2}$$
			$$3 \frac{mv_0^2}{2} - \frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = 3 \frac{mv^2}{2}$$

			Разделим уравнение на 3:
			$$\frac{mv_0^2}{2} - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = \frac{mv^2}{2}$$
			$$v^2 = v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d}$$
			$$v = \sqrt{ v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d} }$$

			Примечание: Разлет частиц на бесконечность возможен при условии, что начальная кинетическая энергия достаточна для преодоления кулоновского притяжения системы (подкоренное выражение $\geqslant 0$).

			#### Ответ:
			$$v = \sqrt{ v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d} } \quad \text{при} \quad \frac{mv_0^2}{2} \geqslant \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d}$$

			### Альтернативное решение 1

			Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте.

			В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$:

			$$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$

			В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$:

			$$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$

			В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта:

			$$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$

			Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле:

			$$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$

			здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов:

			$$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$

			Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$:

			$$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$
			$$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$

			Отсюда:

			$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$

			Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при:

			$$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$


			### Альтернативное решение 2

			Метод поля. В теории поля [1,2,3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве:

			$$
			W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV,
			$$

			где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству.

			Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом

			$$
			W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right),
			$$

			где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1,2,3]).

			Для конечной электрической энергии системы

			$$
			W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right),
			$$

			так как одного заряда из четырех равных нет.

			Закон сохранения энергии для системы с металлом :

			$$
			3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W.
			$$

			Откуда:

			$$
			\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}.
			$$

			Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при:

			$$
			\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}.
			$$

			Примечание: работу поля над приповерхностными индуцированными зарядами в металле при их перераспределении мы не учитываем, потому что они даже уходя в глубь металла проходят пренебрежимо малое расстояние, то есть работа поля пренебрежимо мала над приповерхностными зарядами. Поле в приповерхностном слое перпендикулярно проводнику (см. также параграф 23 задачу 7 в [1]).


			#### Литература

			[1] Сивухин Д.В. Электричество. Общий курс физики. – 1983.

			[2] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 37.

		@@ -142,11 +142,33 @@Литература
			[3] Курс лекций по общей физике, Ч. III Электричество и магнетизм, Электростатика, изд-е второе. Крюков С.П. СУНЦ МГУ.


		−	###~~# Ответ~~
		+	### Альтернативное решение 3

		−	$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$
		+	Используем метод электростатических изображений: будем считать, что поле наведённых зарядов внутри проводящего угла создаётся зеркальными изображениями зарядов. В силу симметрии изображения всех трёх зарядов лежат в одной точке. Суммарный заряд изображения равен $+q$.

		−	при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$
		+	Метод аналогии. Если вместо двугранного угла в точку $A$ поместить заряд $+q$, то в области вне проводника электрическое поле, а следовательно, и силы и работы сил на заряды по такому же перемещению не изменяются. Это позволяет рассмотреть движение системы из четырех реальных(!) зарядов, где угол убран, а на месте зеркального заряда в начале процесса реальный $+q$.

		+	Запишем закон сохранения энергии для системы из четырёх реальных зарядов:

		−	![Исправьте кому не лень: ради Игоря \|540x633, 125%](../../img/7.4.10/scan-0.png)
		+	$$
		+	4 \cdot \frac{mv_0^2}{2} + 2 \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)} - 4 \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt{2}d)} = 4 \cdot \frac{mv^2}{2}.
		+	$$
		+
		+	Найдем из него
		+
		+	$$
		+	\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}.
		+	$$
		+
		+	Данное решение имеет смысл, если подкоренное неотрицательно, что можно выразить так:
		+
		+	$$
		+	\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}.
		+	$$
		+
		+
		+	#### Ответ
		+
		+	$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$
		+
		+	при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}.$$