<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $α$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $α$ он вообще не сдвинется?
   </p>
  <h3> Решение: </h3>
  <p>
     Пусть время остановки пули равно  $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда 
     $$N_1dt = mv\cos(\alpha) \Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$
     Распишем силу трения в этот момент: 
     $$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$
     Так как $dt$ бесконечно малая величина, то 
     $$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$ 
     Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ 
     $$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos(\alpha)$$ 
     ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться)
     В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: 
     $$p_1 = mv\sin(\alpha)$$ 
     (горизонтальная проекция импульса пули)
  </p>
  <p>
     Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы
     $$p_1 > \Delta p$$
     $$mv\sin(\alpha) > \mu mv\cos(\alpha)$$ 
     таким образом мы получили условие движения ящика $tg(\alpha) > \mu$. 
     После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения  
     $$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$
     Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: 
     $$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$
     $$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$
     $$ \boxed{t = \frac{mv(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}{\mu(M+m)g}}$$
  </p>
     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $t = mv(sin α − \mu cos α)/[\mu(m + M)g]$ при $\tan α > \mu$
  </p>
  <p>
        при $\tan α \leq \mu$ ящик не сдвинется
     </p>


<footer class="row container">
<br>
<p>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>