Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $α$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $α$ он вообще не сдвинется?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда
$$N_1dt = mv\cos(\alpha) \Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$
Распишем силу трения в этот момент:
$$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$
Так как $dt$ бесконечно малая величина, то
$$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$
Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$
$$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos(\alpha)$$
($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться)
В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс:
$$p_1 = mv\sin(\alpha)$$
(горизонтальная проекция импульса пули)
</p>
<p>
Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы
$$p_1 > \Delta p$$
$$mv\sin(\alpha) > \mu mv\cos(\alpha)$$
таким образом мы получили условие движения ящика $tg(\alpha) > \mu$.
После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения
$$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$
Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо:
$$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$
$$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$
$$ \boxed{t = \frac{mv(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}{\mu(M+m)g}}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$t = mv(sin α − \mu cos α)/[\mu(m + M)g]$ при $\tan α > \mu$
</p>
<p>
при $\tan α \leq \mu$ ящик не сдвинется
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions