Решение задач из Савченко О.Я.

Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда

                    <center>
                    $N_1dt = mv\cos(\alpha) \Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$ <br><br>
                    </center>  
                    Распишем силу трения в этот момент: <br><br>

                    <center>
                    $F_{\text{тр}} \leq \mu N $$= \mu ((M+m)g + N_1) $$= \mu (M+m)g + \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$ <br><br>
                    </center> 
                     Так как $dt$ бесконечно малая величина, то <br><br>
                    <center>
                       $N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$ <br><br>
                    </center> 
                    Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ <br><br>
                    <center>
                    $\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos(\alpha)$ <br><br>
                    </center> 
                    ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться)<br><br>

                    В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: <br><br>

                    <center>
                    $p_1 = mv\sin(\alpha)$ <br>
                    (горизонтальная проекция импульса пули)<br><br>
                    </center>  
                    Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы<br><br>

                    <center>
                     $p_1 > \Delta p$<br><br>
                     $mv\sin(\alpha) > \mu mv\cos(\alpha)$, <br><br>
                    </center>  
                     таким образом мы получили условие движения ящика $tg(\alpha) > \mu$. <br><br>
                    После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения  <br><br>

                    <center>
                    $F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$ . <br><br>
                    </center>  
                    Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: <br><br>

                    <center>
                    $F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $ <br><br>
                    $ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$<br><br>
                    $t = \frac{mv\sin(\alpha) - \mu mv\cos(\alpha)}{\mu(M+m)g} $<br><br>
                    $ t = \frac{mv(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}{\mu(M+m)g}$ <br><br>
                    </center>  
                 </p>
              </div>
              <h3>
                 Ответ: $l = 2r^2/λ,$ $l_k = 2r^2/[λ(k + 1)k]$
              </h3>
           </div>
        </div>
     </div>
     <a href="#" class="back-to-top affix">
     ↑ наверх
     </a>
  </div>
  </div>      
  <footer class="row container">
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-left">
           <p>
              <small>
              © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2023<br>
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-6">
        <div class="footer-middle">
           <p>
              <small>
              Все права принадлежат авторам.<br>
              Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br>
              astrosander01@gmail.com<br>
              <i>E = mc<sup>2</sup></i>.
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-right">
           <div class="pull-right">
           </div>
        </div>
     </div>
  </footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function(){
           setTimeout(function () {
              $('.back-to-top').affix();
           }, 100);
     
     });
  </script>