Колебания и волны > Деформации и напряжения. Скорость волн > Задача 3.6.23

Условие

$3.6.23.$ Модуль Юнга стали $2\cdot10^{11}~\text{Па}$, ее плотность $7{,}8\cdot10^3~\text{кг/м$^3$}$. Какова скорость продольных волн в стальном стержне? Скорость продольных волн в листовой стали больше, чем в тонких стальных стержнях. Почему?

Решение

По результатам задачи $3.6.21\text{б}$

$$
c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}\approx5\cdot10^3~\text{м/с}.
$$

Достаточно толстую листовую сталь для распространения возмущения рассмотрим как неограниченную среду по сравнению с тонким стержнем. Для неограниченной среды показано [1]

$$
c=\sqrt{\frac{E'}{\rho}},
$$

где $E'$ есть модуль одностороннего сжатия, который можно выразить через коэффициент Пуассона $\mu$ так [1]

$$
E'=E\frac{1}{1-\frac{2\mu^2}{1-\mu}}>E,
$$

так как $\mu>0$.

Или такое объяснение. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали. Его поперечным смещениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержня со свободной боковой поверхностью.

Литература

[1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

$5~\text{км/с}$. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали. Его поперечным смещениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержня со свободной боковой поверхностью.