| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.1.49^*.$ К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы $m_0$, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол $\alpha$ и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза? | | $2.1.49^*.$ К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы $m_0$, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол $\alpha$ и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза? |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="230" /> | | loading="lazy" width="230" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 2.1.49 | | К задаче 2.1.49 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol.png" | | <img src="sol.png" |
| loading="lazy" width="400" /> | | loading="lazy" width="400" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на систему | | Силы действующие на систему |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Применим второй закон Ньютона: | | Применим второй закон Ньютона: |
| $$OX: \;T - T \sin\alpha = m_0 a_{0x} $$ | | $$OX: \;T - T \sin\alpha = m_0 a_{0x} $$ |
| $$ T \sin\alpha = m_{a1x} $$ | | $$ T \sin\alpha = m_{a1x} $$ |
| | | |
| $$OY: \;N - mg - T \cos\alpha = m_0 a_{0y} = 0 $$ | | $$OY: \;N - mg - T \cos\alpha = m_0 a_{0y} = 0 $$ |
| $$ T \cos\alpha - mg = m_{a1y} $$ | | $$ T \cos\alpha - mg = m_{a1y} $$ |
| $$ \tan\alpha = \frac{x_0 - x_1}{y_0 - y_1} $$ | | $$ \tan\alpha = \frac{x_0 - x_1}{y_0 - y_1} $$ |
| Учитывая $\alpha = \text{const}$ | | Учитывая $\alpha = \text{const}$ |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ | | $$ |
| \frac{d}{dt} \left( \tan\alpha\right) = \frac{\left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) - \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1)}{(y_0 - y_1)^2} = 0 | | \frac{d}{dt} \left( \tan\alpha\right) = \frac{\left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) - \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1)}{(y_0 - y_1)^2} = 0 |
| $$</div> | | $$</div> |
| | | |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ | | $$ |
| \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) \right) = \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1) \right) | | \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) \right) = \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1) \right) |
| $$</div> | | $$</div> |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ | | $$ |
| \left(\frac{d^{2}x_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}\right)(y_{0}-y_{1})+\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right)\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)=$$ | | \left(\frac{d^{2}x_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}\right)(y_{0}-y_{1})+\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right)\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)=$$ |
| $$\left(\frac{d^{2}y_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y_{1}}{dt^{2}}\right)(x_{0}-x_{1})+\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)\cdot\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right) | | $$\left(\frac{d^{2}y_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y_{1}}{dt^{2}}\right)(x_{0}-x_{1})+\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)\cdot\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right) |
| $$</div> | | $$</div> |
| | | |
| | | |
| $$ | | $$ |
| (a_{0x} - a_{1x})(y_0 - y_1) = (a_{0y} - a_{1y})(x_0 - x_1) | | (a_{0x} - a_{1x})(y_0 - y_1) = (a_{0y} - a_{1y})(x_0 - x_1) |
| $$ | | $$ |
| $$ \tan\alpha (a_{0y} - a_{1y}) = a_{0x} - a_{1x}$$ | | $$ \tan\alpha (a_{0y} - a_{1y}) = a_{0x} - a_{1x}$$ |
| Из (1) | | Из (1) |
| $$a_{0y} = 0$$ | | $$a_{0y} = 0$$ |
| $$ -\tan\alpha\, a_{1y} = a_{0x} - a_{1x} $$ | | $$ -\tan\alpha\, a_{1y} = a_{0x} - a_{1x} $$ |
| Длина веревки: | | Длина веревки: |
| $$ L = x_w - x_0 + \frac{y_0 - y_1}{\cos\alpha} $$ | | $$ L = x_w - x_0 + \frac{y_0 - y_1}{\cos\alpha} $$ |
| Т.к. нить нерастяжима | | Т.к. нить нерастяжима |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ \frac{d^2 L}{dt^2} = -\frac{d^2 x_0}{dt^2} + \frac{1}{\cos\alpha} \left( \frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2} \right) = 0 $$ | | $$ \frac{d^2 L}{dt^2} = -\frac{d^2 x_0}{dt^2} + \frac{1}{\cos\alpha} \left( \frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2} \right) = 0 $$ |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ \left( \frac{d^2 x_0}{dt^2} = a_{0x}, \frac{d^2 y_0}{dt^2} = a_{0y}, \frac{d^2 y_1}{dt^2} = a_{1y} \right) $$</div> | | $$ \left( \frac{d^2 x_0}{dt^2} = a_{0x}, \frac{d^2 y_0}{dt^2} = a_{0y}, \frac{d^2 y_1}{dt^2} = a_{1y} \right) $$</div> |
| $$ a_{0x} \cdot \cos\alpha = a_{0y} - a_{1y}$$ | | $$ a_{0x} \cdot \cos\alpha = a_{0y} - a_{1y}$$ |
| Из $(1)$: $a_{0y} = 0$ | | Из $(1)$: $a_{0y} = 0$ |
| $$ a_{0x} \cos\alpha = -a_{1y} $$ | | $$ a_{0x} \cos\alpha = -a_{1y} $$ |
| Разделив уравнения из (1): | | Разделив уравнения из (1): |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ \frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{m a_{1x}}{m (g + a_{1y})} \to \tan\alpha (g + a_{1y}) = a_{1x} $$</div> | | $$ \frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{m a_{1x}}{m (g + a_{1y})} \to \tan\alpha (g + a_{1y}) = a_{1x} $$</div> |
| $$ \tan\alpha a_{1y} = a_{1x} - g \tan\alpha$$ | | $$ \tan\alpha a_{1y} = a_{1x} - g \tan\alpha$$ |
| и используя (4) | | и используя (4) |
| $$\boxed{a_{0x} = g \tan\alpha}$$ | | $$\boxed{a_{0x} = g \tan\alpha}$$ |
| Разделив уравнения из (1): | | Разделив уравнения из (1): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{T(1 - \sin\alpha )}{T \cos\alpha} = \frac{M}{m} \cdot \frac{a_{0x}}{g + a_{1y}}$$ | | \frac{T(1 - \sin\alpha )}{T \cos\alpha} = \frac{M}{m} \cdot \frac{a_{0x}}{g + a_{1y}}$$ |
| Обратите внимание, что: | | Обратите внимание, что: |
| $$a_{1y} = -g \sin\alpha$$ | | $$a_{1y} = -g \sin\alpha$$ |
| | | |
| $$ \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} \frac{M}{m} = \frac{g \tan\alpha}{g - g \sin\alpha} \to m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2} $$ | | $$ \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} \frac{M}{m} = \frac{g \tan\alpha}{g - g \sin\alpha} \to m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2} $$ |
