| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.1.49^*.$ К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы $m_0$, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол $\alpha$ и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза? | | $2.1.49^*.$ К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы $m_0$, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол $\alpha$ и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Применим второй закон Ньютона: | | Применим второй закон Ньютона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| OX: \;T - T \sin\alpha = m_0 a_{0x} | | OX: \;T - T \sin\alpha = m_0 a_{0x} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T \sin\alpha = m_{a1x} | | T \sin\alpha = m_{a1x} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| OY: \;N - mg - T \cos\alpha = m_0 a_{0y} = 0 | | OY: \;N - mg - T \cos\alpha = m_0 a_{0y} = 0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T \cos\alpha - mg = m_{a1y} | | T \cos\alpha - mg = m_{a1y} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\alpha = \frac{x_0 - x_1}{y_0 - y_1} | | \tan\alpha = \frac{x_0 - x_1}{y_0 - y_1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Учитывая $\alpha = \text{const}$ | | Учитывая $\alpha = \text{const}$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d}{dt} \left( \tan\alpha\right) = \frac{\left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) - \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1)}{(y_0 - y_1)^2} = 0 | | \frac{d}{dt} \left( \tan\alpha\right) = \frac{\left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) - \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1)}{(y_0 - y_1)^2} = 0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) \right) = \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1) \right) | | \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt} \right)(y_0 - y_1) \right) = \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right)(x_0 - x_1) \right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left(\frac{d^{2}x_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}\right)(y_{0}-y_{1})+\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right)\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)= | | \left(\frac{d^{2}x_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}\right)(y_{0}-y_{1})+\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right)\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)= |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left(\frac{d^{2}y_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y_{1}}{dt^{2}}\right)(x_{0}-x_{1})+\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)\cdot\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right) | | \left(\frac{d^{2}y_{0}}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y_{1}}{dt^{2}}\right)(x_{0}-x_{1})+\left(\frac{dy_{0}}{dt}-\frac{dy_{1}}{dt}\right)\cdot\left(\frac{dx_{0}}{dt}-\frac{dx_{1}}{dt}\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| (a_{0x} - a_{1x})(y_0 - y_1) = (a_{0y} - a_{1y})(x_0 - x_1) | | (a_{0x} - a_{1x})(y_0 - y_1) = (a_{0y} - a_{1y})(x_0 - x_1) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\alpha (a_{0y} - a_{1y}) = a_{0x} - a_{1x} | | \tan\alpha (a_{0y} - a_{1y}) = a_{0x} - a_{1x} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из $(1)$ | | Из $(1)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a_{0y} = 0 | | a_{0y} = 0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| -\tan\alpha\, a_{1y} = a_{0x} - a_{1x} | | -\tan\alpha\, a_{1y} = a_{0x} - a_{1x} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Длина веревки: | | Длина веревки: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L = x_w - x_0 + \frac{y_0 - y_1}{\cos\alpha} | | L = x_w - x_0 + \frac{y_0 - y_1}{\cos\alpha} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. нить нерастяжима | | Т.к. нить нерастяжима |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2 L}{dt^2} = -\frac{d^2 x_0}{dt^2} + \frac{1}{\cos\alpha} \left( \frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2} \right) = 0 | | \frac{d^2 L}{dt^2} = -\frac{d^2 x_0}{dt^2} + \frac{1}{\cos\alpha} \left( \frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2} \right) = 0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left( \frac{d^2 x_0}{dt^2} = a_{0x}, \frac{d^2 y_0}{dt^2} = a_{0y}, \frac{d^2 y_1}{dt^2} = a_{1y} \right) | | \left( \frac{d^2 x_0}{dt^2} = a_{0x}, \frac{d^2 y_0}{dt^2} = a_{0y}, \frac{d^2 y_1}{dt^2} = a_{1y} \right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a_{0x} \cdot \cos\alpha = a_{0y} - a_{1y} | | a_{0x} \cdot \cos\alpha = a_{0y} - a_{1y} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из $(1)$: $a_{0y} = 0$ | | Из $(1)$: $a_{0y} = 0$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a_{0x} \cos\alpha = -a_{1y} | | a_{0x} \cos\alpha = -a_{1y} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разделив уравнения из $(1)$: | | Разделив уравнения из $(1)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{m a_{1x}}{m (g + a_{1y})} \to \tan\alpha (g + a_{1y}) = a_{1x} | | \frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{m a_{1x}}{m (g + a_{1y})} \to \tan\alpha (g + a_{1y}) = a_{1x} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\alpha a_{1y} = a_{1x} - g \tan\alpha | | \tan\alpha a_{1y} = a_{1x} - g \tan\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и используя $(4)$ | | и используя $(4)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{a_{0x} = g \tan\alpha} | | \boxed{a_{0x} = g \tan\alpha} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разделив уравнения из $(1)$: | | Разделив уравнения из $(1)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{T(1 - \sin\alpha )}{T \cos\alpha} = \frac{M}{m} \cdot \frac{a_{0x}}{g + a_{1y}} | | \frac{T(1 - \sin\alpha )}{T \cos\alpha} = \frac{M}{m} \cdot \frac{a_{0x}}{g + a_{1y}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Обратите внимание, что: | | Обратите внимание, что: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a_{1y} = -g \sin\alpha | | a_{1y} = -g \sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} \frac{M}{m} = \frac{g \tan\alpha}{g - g \sin\alpha} \to m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2} | | \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} \frac{M}{m} = \frac{g \tan\alpha}{g - g \sin\alpha} \to m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2}} | | \boxed{m = \frac{M \sin\alpha}{(1 - \sin\alpha )^2}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a = g \tan\alpha | | a = g \tan\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| m = m_0 \frac{\sin\alpha}{(1 − \sin\alpha )^2} | | m = m_0 \frac{\sin\alpha}{(1 − \sin\alpha )^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |