Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/1.5.8.md
+4 −6
| ### Условие: | |||
| $1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\; r = R,\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса. | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения | |||
| $$\fbox{$a = \omega^2 r = (v^2/R^2)r$}$$ | |||
| @@ -12,7 +12,7 @@Решение: | |||
| Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость | |||
| − | $$u = \omega r + v = v(1 + \frac{r}{R})$$ | ||
| + | $$u = \omega r + v = v\left(1 + \frac{r}{R}\right)$$ | ||
| Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны | |||
| $$r = \frac{u^2}{a}$$ | |||
| $$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$ | |||
| Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения: | |||
|  | |||
| @@ -26,9 +26,7 @@Решение: | |||
| ### Ответ: | |||
| − | $a=(v^2/R^2)r;$ | ||
| − | $r_{в}=(R+r)^2/r,$ | ||
| − | $r_{н}=(R-r)^2/r.$ | ||
| − | |||
| − | |||
| + | $$a=(v^2/R^2)r;$$ | ||
| + | $$r_{в}=(R+r)^2/r,$$ | ||
| + | $$r_{н}=(R-r)^2/r.$$ | ||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\; r = R,\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса. | $1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\; r = R,\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса. | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения | В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения | ||
| $$\fbox{$a = \omega^2 r = (v^2/R^2)r$}$$ | $$\fbox{$a = \omega^2 r = (v^2/R^2)r$}$$ | ||
| @@ -12,7 +12,7 @@Решение: | |||
| Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость | Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость | ||
| $$u = \omega r + v = v(1 + \frac{r}{R})$$ | $$u = \omega r + v = v\left(1 + \frac{r}{R}\right)$$ | ||
| Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны | Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны | ||
| $$r = \frac{u^2}{a}$$ | $$r = \frac{u^2}{a}$$ | ||
| $$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$ | $$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$ | ||
| Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения: | Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения: | ||
|  |  | ||
| @@ -26,9 +26,7 @@Решение: | |||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $a=(v^2/R^2)r;$ |
$$a=(v^2/R^2)r;$$ | ||
| $r_{в}=(R+r)^2/r,$ |
$$r_{в}=(R+r)^2/r,$$ | ||
| $r_{н}=(R-r)^2/r.$ | $$r_{н}=(R-r)^2/r.$$ | ||