| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\; r = R,\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса. | | $1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\; r = R,\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса. |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения | | В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения |
| | | |
| $$\fbox{$a = \omega^2 r = (v^2/R^2)r$}$$ | | $$\fbox{$a = \omega^2 r = (v^2/R^2)r$}$$ |
| | | |
| Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость | | Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость |
| | | |
| $$u = \omega r + v = v\left(1 + \frac{r}{R}\right)$$ | | $$u = \omega r + v = v\left(1 + \frac{r}{R}\right)$$ |
| | | |
| Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны | | Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны |
| | | |
| $$r = \frac{u^2}{a}$$ | | $$r = \frac{u^2}{a}$$ |
| | | |
| $$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$ | | $$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$ |
| | | |
| Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения: | | Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
