| @@ -1,12 +1,12 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. |
| $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16) |
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16) |
| |
| |
| В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$ |
| В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$ |
| |
| |
| $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ | | $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ |
| | | |
| Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$ | | Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$ |
| | | |
| $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ | | $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ |
| | | |
| $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ | | $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ |
| | | |
| $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ | | $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ |
| | | |
| Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ | | Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ |
| | | |
| $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ | | $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ |
| | | |
| Подставляем $(1)$ | | Подставляем $(1)$ |
| | | |
| $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ | | $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ |
| | | |
| $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ | | $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ |
| | | |
| ### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$ | | ### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
| За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние | | За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние |
| | | |
| $$\Delta l=\upsilon\Delta t$$ | | $$\Delta l=\upsilon\Delta t$$ |
| | | |
|  Бревно и грузовик | |  Бревно и грузовик |
| | | |
| При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла | | При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла |
| | | |
| $$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$ | | $$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$ |
| | | |
| Угловая скорость определяется как | | Угловая скорость определяется как |
| | | |
| $$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$ | | $$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$ |
| | | |
| Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$. | | Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$. |
| | | |
| $$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$ | | $$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$ |
| | | |
| Также можно записать, что | | Также можно записать, что |
| | | |
| $$H=R\sin\alpha$$ | | $$H=R\sin\alpha$$ |
| | | |
| С учетом этого | | С учетом этого |
| | | |
| $$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$ | | $$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$ |
| | | |
| | | |
| | | |
