Правка разделов «Решение», «Альтернативное решение»
ru/1.5.17.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16) | |||
| В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$ | |||
| $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ | |||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение: | |||
| Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$ | |||
| − | $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ | ||
| + | $$d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)$$ | ||
| $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ | |||
| $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ | |||
| Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ | |||
| $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ | |||
| Подставляем $(1)$ | |||
| $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ | |||
| $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ | |||
| ### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
| За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние | |||
| @@ -38,7 +38,7 @@Альтернативное решение: | |||
| $$\Delta l=\upsilon\Delta t$$ | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла | |||
| $$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$ | |||
| Угловая скорость определяется как | |||
| $$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$ | |||
| Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$. | |||
| $$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$ | |||
| Также можно записать, что | |||
| $$H=R\sin\alpha$$ | |||
| С учетом этого | |||
| $$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$ | |||
| ещё строк без изменений 20 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. | $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16) | __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.16](../1.5.16) | ||
| В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$ | В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$ | ||
| $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ | $$x = H \tan\alpha\quad(1)$$ | ||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение: | |||
| Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$ | Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$ | ||
| $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ | $$d\alpha = d\left(\arctan \frac{H}{x}\right)$$ | ||
| $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ | $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ | ||
| $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ | $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ | ||
| Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ | Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ | ||
| $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ | $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ | ||
| Подставляем $(1)$ | Подставляем $(1)$ | ||
| $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ | $$\omega = \frac{v}{H(1 + \tan^2 \alpha )}$$ | ||
| $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ | $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ | ||
| ### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$ | ### Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
| За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние | За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние | ||
| @@ -38,7 +38,7 @@Альтернативное решение: | |||
| $$\Delta l=\upsilon\Delta t$$ | $$\Delta l=\upsilon\Delta t$$ | ||
|  |
 | ||
| При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла | При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла | ||
| $$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$ | $$\Delta \alpha =\frac{\Delta x }{R}$$ | ||
| Угловая скорость определяется как | Угловая скорость определяется как | ||
| $$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$ | $$\omega =\frac{\Delta \alpha}{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$ | ||
| Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$. | Но $\Delta x =\upsilon\Delta t\sin\alpha$. | ||
| $$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$ | $$\omega =\frac{\upsilon\Delta t\sin\alpha}{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin\alpha}{R}$$ | ||
| Также можно записать, что | Также можно записать, что | ||
| $$H=R\sin\alpha$$ | $$H=R\sin\alpha$$ | ||
| С учетом этого | С учетом этого | ||
| $$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$ | $$\omega =\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$ | ||
| ещё строк без изменений 20 | |||