2.2.4∗. В масс-пролетном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно и пролетают через первый датчик $D_1$, находящийся на расстоянии $L$ от сетки. За сеткой по нормали к ней на частицы действует электрическая сила $F$. Частицы поворачиваются и вылетают через сетку назад, пролетая через второй датчик $D_2$, находящийся на том же расстоянии от сетки. От напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но точное ее значение остается неизвестным. Меняя напряжение, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение $\Delta t$. Какова масса частицы? Как можно найти массу частиц, если источник испускает несколько сортов частиц с разной массой?
К задаче $2.2.4$
Решение
Время пролета расстояния $2L$
$$t_1 = \frac{2L}{v_0}$$
Время разворота частицы
$$t_2 = 2\frac{mv_0}{F}$$
$$t(v) = \frac{2L}{v_0} + 2\frac{mv_0}{F}$$
Находим производную времени по скорости и ищем экстремум(из условия минимума $\Delta t$)
$$t'(v) = 2\frac{m}{F} - \frac{2L}{{v_0}^2} = 0$$
отсюда
$$v_0 = \sqrt{\frac{FL}{m}}$$
тогда
$$t_1 =t_2 = 2\sqrt{\frac{mL}{F}},$$$$\Delta t = 4\sqrt{\frac{mL}{F}}$$$$\Delta t = 4\sqrt{\frac{mL}{F}} \Rightarrow \boxed{m = \frac{F{\Delta t}^2}{16L}}$$
