Решение

Время пролета расстояния $2L$

$$t_1 = \frac{2L}{v_0}$$

Время разворота частицы

$$t_2 = 2\frac{mv_0}{F}$$

Зависимость времени от скорости частицы

$$t(v) = \frac{2L}{v_0} + 2\frac{mv_0}{F}$$

Находим производную времени по скорости и ищем экстремум(из условия минимума $\Delta t$)

$$\frac{dt}{dv} = 2\frac{m}{F} - \frac{2L}{{v_0}^2} = 0$$

отсюда

$$v_0 = \sqrt{\frac{FL}{m}}$$

тогда

$$t_1 =t_2 = 2\sqrt{\frac{mL}{F}},$$

$$\Delta t = 4\sqrt{\frac{mL}{F}}$$

Выражаем массу частицы

$$\Delta t = 4\sqrt{\frac{mL}{F}} \Rightarrow \boxed{m = \frac{F{\Delta t}^2}{16L}}$$

Если источник испускает смесь частиц разной массы, то при изменении напряжения будет наблюдаться несколько локальных минимумов времени $\Delta t_i$, каждый из которых соответствует определенному сорту частиц. Массу каждой частицы можно найти по той же формуле:
$$m_i = \frac{F \Delta t_i^2}{16L}$$