Решение

Согласно закону сохранения импульса, сумма векторных импульсов всех частиц должна равняться нулю:

$$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0.$$

Отсюда следует, что:
$$\vec{p}_3 = - (\vec{p}_1 + \vec{p}_2).$$

Для нахождения модуля суммы двух векторов воспользуемся теоремой косинусов. Угол между векторами $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ равен $\pi - \alpha$, так как складываем векторы, а угол $\alpha$ между ними внутренний.

Тогда:
$$|\vec{p}_1 + \vec{p}_2| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 - 2p_1 p_2 \cos(\pi - \alpha)}.$$

Учитывая, что $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$$|\vec{p}_1 + \vec{p}_2| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 p_2 \cos(\alpha)}.$$

Так как $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$, его модуль равен модулю $|\vec{p}_1 + \vec{p}_2|$:
$$p_3 = |\vec{p}_1 + \vec{p}_2| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 p_2 \cos(\alpha)}.$$