Правка раздела «Решение»
ru/5.2.6.md
+5 −5
| ### Условие: | |||
| $5.2.6.$ Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $3000$ до $3002 ~м/с$, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $1500$ до $1505 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $1500$ до $1501 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $1500$ до $1502 ~м/с$. Температура водорода $300 ~K$ | |||
| ### Решение: | |||
| Распределение Максвелла для каждой проекции скорости: | |||
| \[ | |||
| \Delta N = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m_0 \langle v \rangle^2}{2kT}} \langle v \rangle^2 \Delta v, | |||
| \] | |||
| Обозначим константу как | |||
| $$ | |||
| C = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} | |||
| $$ | |||
| @@ -19,15 +19,15 @@Решение: | |||
| Для каждого направления (\(x, y, z\)): | |||
| \[ | |||
| − | \Delta N_{x1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x1}^2}{2kT}} v_{x1}^2 \Delta v_{x1}, \quad v_{x1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{x1} = | ||
| + | \Delta N_{x1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x1}^2}{2kT}} v_{x1}^2 \Delta v_{x1}, \quad v_{x1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{x1} = 10~ \text{м/с}. | ||
| \] | |||
| \[ | |||
| − | \Delta N_{y1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y1}^2}{2kT}} v_{y1}^2 \Delta v_{y1}, \quad v_{y1} = 300 | ||
| + | \Delta N_{y1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y1}^2}{2kT}} v_{y1}^2 \Delta v_{y1}, \quad v_{y1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{y1} = 10~ \text{м/с}. | ||
| \] | |||
| \[ | |||
| − | \Delta N_{z1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z1}^2}{2kT}} v_{z1}^2 \Delta v_{z1}, \quad v_{z1} = 3001~ \text{м/с}, \Delta v_{z1} = | ||
| + | \Delta N_{z1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z1}^2}{2kT}} v_{z1}^2 \Delta v_{z1}, \quad v_{z1} = 3001~ \text{м/с}, \Delta v_{z1} = 2~ \text{м/с}. | ||
| \] | |||
| Суммарное число молекул: | |||
| \[ | |||
| \Delta N_1 = \Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}. | |||
| \] | |||
| Аналогично, проводим вычисления для \(\Delta N_2\): | |||
| \[ | |||
| \Delta N_{x2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x2}^2}{2kT}} v_{x2}^2 \Delta v_{x2}, \quad v_{x2} = 1502.5~ \text{м/с}, \Delta v_{x2} = 5~ \text{м/с}. | |||
| @@ -43,11 +43,11 @@Решение: | |||
| \] | |||
| \[ | |||
| − | \Delta N_{y2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y2}^2}{2kT}} v_{y2}^2 \Delta v_{y2}, \quad v_{y2} = 1500.5~ \text{м/с}, \Delta v_{y2} = | ||
| + | \Delta N_{y2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y2}^2}{2kT}} v_{y2}^2 \Delta v_{y2}, \quad v_{y2} = 1500.5~ \text{м/с}, \Delta v_{y2} = 1~ \text{м/с}. | ||
| \] | |||
| \[ | |||
| − | \Delta N_{z2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z2}^2}{2kT}} v_{z2}^2 \Delta v_{z2}, \quad v_{z2} = 1501~ \text{м/с}, \Delta v_{z2} = | ||
| + | \Delta N_{z2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z2}^2}{2kT}} v_{z2}^2 \Delta v_{z2}, \quad v_{z2} = 1501~ \text{м/с}, \Delta v_{z2} = 2~ \text{м/с}. | ||
| \] | |||
| Суммарное число молекул: | |||
| \[ | |||
| \Delta N_2 = \Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}. | |||
| \] | |||
| Подставим значения: | |||
| \[ | |||
| n = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{\Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}}{\Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}} = 6 \cdot 10^{−3} | |||
| \] | |||
| #### Ответ: $n = 6 \cdot 10^{−3} $ | |||
| ещё строк без изменений 12 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $5.2.6.$ Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $3000$ до $3002 ~м/с$, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $1500$ до $1505 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $1500$ до $1501 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $1500$ до $1502 ~м/с$. Температура водорода $300 ~K$ | $5.2.6.$ Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $3000$ до $3010 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $3000$ до $3002 ~м/с$, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $1500$ до $1505 ~м/с$, на ось $y$ — в интервале от $1500$ до $1501 ~м/с$, на ось $z$ — в интервале от $1500$ до $1502 ~м/с$. Температура водорода $300 ~K$ | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Распределение Максвелла для каждой проекции скорости: | Распределение Максвелла для каждой проекции скорости: | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m_0 \langle v \rangle^2}{2kT}} \langle v \rangle^2 \Delta v, | \Delta N = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m_0 \langle v \rangle^2}{2kT}} \langle v \rangle^2 \Delta v, | ||
| \] | \] | ||
| Обозначим константу как | Обозначим константу как | ||
| $$ | $$ | ||
| C = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} | C = 4 \pi \left( \frac{m_0}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -19,15 +19,15 @@Решение: | |||
| Для каждого направления (\(x, y, z\)): | Для каждого направления (\(x, y, z\)): | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{x1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x1}^2}{2kT}} v_{x1}^2 \Delta v_{x1}, \quad v_{x1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{x1} = |
\Delta N_{x1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x1}^2}{2kT}} v_{x1}^2 \Delta v_{x1}, \quad v_{x1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{x1} = 10~ \text{м/с}. | ||
| \] | \] | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{y1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y1}^2}{2kT}} v_{y1}^2 \Delta v_{y1}, \quad v_{y1} = 300 |
\Delta N_{y1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y1}^2}{2kT}} v_{y1}^2 \Delta v_{y1}, \quad v_{y1} = 3005~ \text{м/с}, \Delta v_{y1} = 10~ \text{м/с}. | ||
| \] | \] | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{z1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z1}^2}{2kT}} v_{z1}^2 \Delta v_{z1}, \quad v_{z1} = 3001~ \text{м/с}, \Delta v_{z1} = |
\Delta N_{z1} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z1}^2}{2kT}} v_{z1}^2 \Delta v_{z1}, \quad v_{z1} = 3001~ \text{м/с}, \Delta v_{z1} = 2~ \text{м/с}. | ||
| \] | \] | ||
| Суммарное число молекул: | Суммарное число молекул: | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_1 = \Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}. | \Delta N_1 = \Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}. | ||
| \] | \] | ||
| Аналогично, проводим вычисления для \(\Delta N_2\): | Аналогично, проводим вычисления для \(\Delta N_2\): | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{x2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x2}^2}{2kT}} v_{x2}^2 \Delta v_{x2}, \quad v_{x2} = 1502.5~ \text{м/с}, \Delta v_{x2} = 5~ \text{м/с}. | \Delta N_{x2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{x2}^2}{2kT}} v_{x2}^2 \Delta v_{x2}, \quad v_{x2} = 1502.5~ \text{м/с}, \Delta v_{x2} = 5~ \text{м/с}. | ||
| @@ -43,11 +43,11 @@Решение: | |||
| \] | \] | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{y2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y2}^2}{2kT}} v_{y2}^2 \Delta v_{y2}, \quad v_{y2} = 1500.5~ \text{м/с}, \Delta v_{y2} = |
\Delta N_{y2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{y2}^2}{2kT}} v_{y2}^2 \Delta v_{y2}, \quad v_{y2} = 1500.5~ \text{м/с}, \Delta v_{y2} = 1~ \text{м/с}. | ||
| \] | \] | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_{z2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z2}^2}{2kT}} v_{z2}^2 \Delta v_{z2}, \quad v_{z2} = 1501~ \text{м/с}, \Delta v_{z2} = |
\Delta N_{z2} = C \cdot e^{-\frac{m_0 v_{z2}^2}{2kT}} v_{z2}^2 \Delta v_{z2}, \quad v_{z2} = 1501~ \text{м/с}, \Delta v_{z2} = 2~ \text{м/с}. | ||
| \] | \] | ||
| Суммарное число молекул: | Суммарное число молекул: | ||
| \[ | \[ | ||
| \Delta N_2 = \Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}. | \Delta N_2 = \Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}. | ||
| \] | \] | ||
| Подставим значения: | Подставим значения: | ||
| \[ | \[ | ||
| n = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{\Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}}{\Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}} = 6 \cdot 10^{−3} | n = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{\Delta N_{x1} + \Delta N_{y1} + \Delta N_{z1}}{\Delta N_{x2} + \Delta N_{y2} + \Delta N_{z2}} = 6 \cdot 10^{−3} | ||
| \] | \] | ||
| #### Ответ: $n = 6 \cdot 10^{−3} $ | #### Ответ: $n = 6 \cdot 10^{−3} $ | ||
| ещё строк без изменений 12 | |||