Решение

Поскольку обруч возвращается в начальное место - место старта, то его конечная скорость равна начальной:
$$v_к=v_н-v$$

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения:

$$M=I\beta$$

Подставляем значения для момента силы трения $(F_\text{fr} = \mu mg)$ и момент инерции тонкого обруча $(J = mR^2)$:

$$μmgR = mR^2(\omega_0 – \omega )/t$$

Упростим уравнение, сократив на $m$:

$$μgt = R(\omega_0 – \omega)$$

Так как обруч вернётся в исходное положение, конечная угловая скорость $\omega = 2v/R$, поэтому:

$$μgt = R(\omega_0 – 2v/R) \quad(1)$$

Согласно второму закону Ньютона для поступательного движения:

$$F_т = ma$$

Подставим силу трения $F_\text{fr}$ и ускорение $a=v/t$:

$$μmg = mv/t$$

Упростим:

$$μgt = v \quad(2)$$

Из уравнения $(2)$ выражаем $t$ и подставляем в уравнение $(1)$:

$$\omega_0 = 3v/R$$

а искомое условие будет иметь вид

$$\omega_0 \geq 3v/R$$