$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.
Частота \(\omega\) связана с параметрами системы уравнением:
$$
\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}
$$
где \(\alpha\) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а \(\beta\) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:
$$
E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow\beta = 1
$$
Потенциальная энергия \( E_p \) складывается из двух частей:
1. Энергия, связанная с маятником (\( E_p^{(1)}\)):
\[
E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
\]
При малых углах \(\varphi\) справедливо приближение \(\cos\varphi\approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}\), поэтому:
\[
E_p^{(1)}\approx\frac{1}{2} mgl \varphi^2.
\]
@@ -34,7 +34,7 @@Решение:
2. Энергия, связанная с растяжением пружины (\( E_p^{(2)}\)):
Если маятник отклоняется на угол \(\varphi\), горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет \( x = \frac{l}{2}\varphi\). Потенциальная энергия пружины:
\[
−
E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
+
E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left({x}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
Подставляем \(\alpha\) и \(\beta\) в формулу для частоты:
\[
\omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}.
\]
### Альтернативное решение:
#### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.
ещё строк без изменений 21
### Условие:
### Условие:
$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.
$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.
Частота \(\omega\) связана с параметрами системы уравнением:
Частота \(\omega\) связана с параметрами системы уравнением:
$$
$$
\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}
\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}
$$
$$
где \(\alpha\) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а \(\beta\) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
где \(\alpha\) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а \(\beta\) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:
Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:
$$
$$
E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow\beta = 1
E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow\beta = 1
$$
$$
Потенциальная энергия \( E_p \) складывается из двух частей:
Потенциальная энергия \( E_p \) складывается из двух частей:
1. Энергия, связанная с маятником (\( E_p^{(1)}\)):
1. Энергия, связанная с маятником (\( E_p^{(1)}\)):
\[
\[
E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
\]
\]
При малых углах \(\varphi\) справедливо приближение \(\cos\varphi\approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}\), поэтому:
При малых углах \(\varphi\) справедливо приближение \(\cos\varphi\approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}\), поэтому:
\[
\[
E_p^{(1)}\approx\frac{1}{2} mgl \varphi^2.
E_p^{(1)}\approx\frac{1}{2} mgl \varphi^2.
\]
\]
@@ -34,7 +34,7 @@Решение:
2. Энергия, связанная с растяжением пружины (\( E_p^{(2)}\)):
2. Энергия, связанная с растяжением пружины (\( E_p^{(2)}\)):
Если маятник отклоняется на угол \(\varphi\), горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет \( x = \frac{l}{2}\varphi\). Потенциальная энергия пружины:
Если маятник отклоняется на угол \(\varphi\), горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет \( x = \frac{l}{2}\varphi\). Потенциальная энергия пружины:
\[
\[
E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left({x}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
