| @@ -1,25 +1,68 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия. |
| $3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| $\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ |
| Частота \( \omega \) связана с параметрами системы уравнением: |
| |
| |
| |
| $$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$ |
| |
| |
| |
| где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией. |
| |
| |
| |
| Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как: |
| |
| |
| |
| $$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =\frac{m}{2}$$ |
| |
| |
| |
| --- |
| |
| |
| |
| Потенциальная энергия \( E_p \) складывается из двух частей: |
| |
| |
| |
| 1. Энергия, связанная с маятником (\( E_p^{(1)} \)): |
| |
| \[ |
| |
| E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi). |
| |
| \] |
| |
| При малых углах \( \varphi \) справедливо приближение \( \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2} \), поэтому: |
| |
| \[ |
| |
| E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| 2. Энергия, связанная с растяжением пружины (\( E_p^{(2)} \)): |
| |
| Если маятник отклоняется на угол \( \varphi \), горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет \( x = \frac{l}{2} \varphi \). Потенциальная энергия пружины: |
| |
| \[ |
| |
| E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Суммарная потенциальная энергия: |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Сравнивая \( E_p \) с выражением \( E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2 \), получаем: |
| |
| \[ |
| |
| \alpha = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| --- |
| |
| |
| |
| $$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| $$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$ |
| |
| |
| |
| $$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$ |
| |
| |
| |
| $$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$ |
| |
| |
| |
| $$\Rightarrow \alpha=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$$ |
| |
| |
| $E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =\frac{m}{2}$ |
| $$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$$ |
| |
| |
| $E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$\Rightarrow \alpha$$=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$ |
| |
| |
| |
| $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Альтернативное решение: |
| ### Альтернативное решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$. |
| ### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$. |
| |
| |
| ### |
| |
