### Условие ### Условие $ 2.8.44. $ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по$ 2.8.44. $ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска поперпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен µ? между бруском и плоскостью равен µ?   #### Решение #### Решение Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $ x $ от точки приложения силы $ F $ . По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $ x $ от точки приложения силы $ F $ . По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. $$ \mu m_1g \frac { x }{ 2 } + \mu m_2 \frac { L-x }{ 2 } =Fx $$ $$ \mu m_1g \frac { x }{ 2 } + \mu m_2 \frac { L-x }{ 2 } =Fx $$ Из однородности стержня ясно, что: Из однородности стержня ясно, что: $$ m_1= \frac { m }{ L } x $$ $$ m_1= \frac { m }{ L } x $$ $$ m_2= \frac { m }{ L } (L-x) $$ $$ m_2= \frac { m }{ L } (L-x) $$ Подставим: Подставим: $$ \mu mg \frac { x^2 }{ 2L } + \mu mg \frac { (L-x)^2 }{ 2L } =Fx $$ $$ \mu mg \frac { x^2 }{ 2L } + \mu mg \frac { (L-x)^2 }{ 2L } =Fx $$ Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $ x $ : Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $ x $ : $$ \mu mg( \frac { x }{ L } + \frac { L }{ 2x } -1)=F $$ $$ \mu mg( \frac { x }{ L } + \frac { L }{ 2x } -1)=F $$ Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: $$ \frac { d }{ dx } F= \frac { 1 }{ L } - \frac { L }{ 2x^2 } =0 $$ $$ \frac { d }{ dx } F= \frac { 1 }{ L } - \frac { L }{ 2x^2 } =0 $$ Выражаем плечо в единицах длины стержня: Выражаем плечо в единицах длины стержня:
@@ -23,7 +23,7 @@Решение
$$ x= \frac { L }{ \sqrt { 2 }} $$ $$ x= \frac { L }{ \sqrt { 2 }} $$
Подставим в уравнение силы:
Подставим в уравнение силы:
$$ \mu mg( \frac { \frac { L }{ \sqrt { 2 }}}{ L } + \frac { L }{ 2 \frac { L }{ \sqrt { 2 }}} -1)=F $$ $$ \mu mg( \frac { \frac { L }{ \sqrt { 2 }}}{ L } + \frac { L }{ 2 \frac { L }{ \sqrt { 2 }}} -1)=F $$
Сократим длину и рацианализируем дроби::
Сократим длину и рацианализируем дроби:
$$ \mu mg( \frac { \sqrt { 2 }}{ 2 } + \frac { \sqrt { 2 }}{ 2 } -1)=F $$ $$ \mu mg( \frac { \sqrt { 2 }}{ 2 } + \frac { \sqrt { 2 }}{ 2 } -1)=F $$
Отсюда получаем ответ:
Отсюда получаем ответ:
$$ \boxed { F= \mu mg( \sqrt { 2 } -1) } $$ $$ \boxed { F= \mu mg( \sqrt { 2 } -1) } $$
