| @@ -1,6 +1,6 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.8.44.$ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$? |
| $2.8.44.$ Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| #### Решение | | #### Решение |
| | | |
| Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. | | Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. |
| | | |
| $$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$ | | $$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$ |
| | | |
| Из однородности стержня ясно, что: | | Из однородности стержня ясно, что: |
| | | |
| $$m_1=\frac{m}{L}x$$ | | $$m_1=\frac{m}{L}x$$ |
| | | |
| $$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$ | | $$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$ |
| | | |
| Подставим: | | Подставим: |
| | | |
| $$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$ | | $$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$ |
| | | |
| Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$: | | Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$: |
| | | |
| $$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$ | | $$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$ |
| | | |
| Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: | | Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: |
| | | |
| $$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$ | | $$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$ |
| | | |
| Выражаем плечо в единицах длины стержня: | | Выражаем плечо в единицах длины стержня: |
| | | |
| $$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$ | | $$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$ |
| | | |
| Подставим в уравнение силы: | | Подставим в уравнение силы: |
| | | |
| $$\mu mg\left[\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1\right]=F$$ | | $$\mu mg\left[\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1\right]=F$$ |
| | | |
| Сократим длину и рацианализируем дроби: | | Сократим длину и рацианализируем дроби: |
| | | |
| $$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$ | | $$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$ |
| | | |
| Отсюда получаем ответ: | | Отсюда получаем ответ: |
| | | |
| $$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$ | | $$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$ |
| | | |
| #### Ответ: $F=\mu mg(\sqrt{2}-1)$ | | #### Ответ: $F=\mu mg(\sqrt{2}-1)$ |
