Правка раздела «Решение»
ru/7.4.14.md
+4 −1
| ### Условие | |||
| $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | |||
| ### Решение | |||
| Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обоих частиц: | |||
| $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | |||
| $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | |||
| где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | |||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение | |||
| $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | |||
| − | Согласно закону сохранения импульса: | ||
| + | Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | ||
| $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | |||
| Используя уравнения (1)-(4) найдём: | |||
| $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | |||
| $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | |||
| Можно выразить $\upsilon^{2}$: | |||
| @@ -27,8 +27,11 @@Решение | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | |||
| + | Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\upsilon^{'}=n\upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | ||
| + | |||
| + | $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обоих частиц: | Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обоих частиц: | ||
| $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | ||
| $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | ||
| где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | ||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение | |||
| $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | ||
| Согласно закону сохранения импульса: | Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | ||
| $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | ||
| Используя уравнения (1)-(4) найдём: | Используя уравнения (1)-(4) найдём: | ||
| $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | ||
| $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | ||
| Можно выразить $\upsilon^{2}$: | Можно выразить $\upsilon^{2}$: | ||
| @@ -27,8 +27,11 @@Решение | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | ||
| Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\upsilon^{'}=n\upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | |||
| $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | ||