Правка раздела «Решение»

emixter правка от 13 апр. 2025 г., 16:45

правка #14230 предыдущая #14229 ← раньше позже →

ru/7.4.14.md +25 −11

			### Условие

			$7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся?


			### Решение

			Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц:

			$$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$
			$$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$

			где $\left\| q \right\|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$:

			$$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$

			Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится):

			$$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$

			Используя уравнения (1)-(4) найдём:

			$$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$
			$$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$

			Можно выразить $\upsilon^{2}$:

			$$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$

			Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать:

			$$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$
		@@ -33,39 +33,53 @@Решение

			Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет:

		−	$$K_{отн}+U=0$$
		+	$$K_{отн}+U=0 \tag{6}$$

			В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми.

		+	Потенциальная энергия взаимодействия разноименных зарядов:
		+
		+	$$U=-\frac{kq^{2}}{r}$$
		+
			Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс:

			$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$

			где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс:

		−	$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}$$
		+	$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ} \tag{7}$$

			здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс.

			Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс:

		−	$$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}$$
		−	$$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ}$$
		+	$$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{8}$$
		+	$$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{9}$$

		−	При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$.
		+	При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$.

		−	Новый импульс системы:
		+	Подставим (8) и (9) в (7):

		−	$$\vec ~~P=m~~\vec \upsilon^{'}~~+M\vec V^{'}=mn\vec \upsilon+M\vec V~~$$
		+	$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}-\vec V^{'}+\vec V_{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V^{'}=n\vec \upsilon-\vec V=n\vec \upsilon+\frac{m}{M}\vec \upsilon=\left( n+\frac{m}{M} \right)\vec \upsilon$$

		−	~~Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$, тогда для импульса:~~
		+	$$\upsilon_{отн}^{2}=\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$

		−	$$\vec P=mn\vec \upsilon-M\frac{m}{M}\vec \upsilon=(n-1)m\vec \upsilon$$
		+	Выразим $K_{отн}$:

		−	Можем выразить скорость центра масс:
		+	$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$

		−	$$~~\vec V_{ЦМ}=\frac{\vec P}{m+M}~~$$
		+	Подставим в (6):
		+
		+	$$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$
		+
		+	Подставим $\upsilon^{2}$ из выражения (5):
		+
		+	$$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$
		+
		+	Сократим на $\frac{kq^{2}}{r}$ и упростим:
		+
		+	$$\frac{M^{2}}{\left( m+M \right)^{2}}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}=2$$

			#### Ответ

			$$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$

	### Условие		### Условие

	$7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся?		$7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся?


	### Решение		### Решение

	Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц:		Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц:

	$$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$		$$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$
	$$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$		$$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$

	где $\left\| q \right\|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$:		где $\left\| q \right\|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$:

	$$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$		$$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$

	Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится):		Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится):

	$$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$		$$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$

	Используя уравнения (1)-(4) найдём:		Используя уравнения (1)-(4) найдём:

	$$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$		$$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$
	$$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$		$$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$

	Можно выразить $\upsilon^{2}$:		Можно выразить $\upsilon^{2}$:

	$$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$		$$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$

	Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать:		Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать:

	$$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$		$$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$
	@@ -33,39 +33,53 @@Решение

	Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет:		Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет:

	$$K_{отн}+U=0$$		$$K_{отн}+U=0 \tag{6}$$

	В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми.		В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми.

			Потенциальная энергия взаимодействия разноименных зарядов:

			$$U=-\frac{kq^{2}}{r}$$

	Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс:		Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс:

	$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$		$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$

	где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс:		где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс:

	$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}$$		$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ} \tag{7}$$

	здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс.		здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс.

	Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс:		Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс:

	$$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}$$		$$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{8}$$
	$$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ}$$		$$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{9}$$

	При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$.		При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$.

	Новый импульс системы:		Подставим (8) и (9) в (7):

	$$\vec ~~P=m~~\vec \upsilon^{'}~~+M\vec V^{'}=mn\vec \upsilon+M\vec V~~$$		$$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}-\vec V^{'}+\vec V_{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V^{'}=n\vec \upsilon-\vec V=n\vec \upsilon+\frac{m}{M}\vec \upsilon=\left( n+\frac{m}{M} \right)\vec \upsilon$$

	~~Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$, тогда для импульса:~~		$$\upsilon_{отн}^{2}=\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$

	$$\vec P=mn\vec \upsilon-M\frac{m}{M}\vec \upsilon=(n-1)m\vec \upsilon$$		Выразим $K_{отн}$:

	Можем выразить скорость центра масс:		$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$

	$$~~\vec V_{ЦМ}=\frac{\vec P}{m+M}~~$$		Подставим в (6):

			$$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$

			Подставим $\upsilon^{2}$ из выражения (5):

			$$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$

			Сократим на $\frac{kq^{2}}{r}$ и упростим:

			$$\frac{M^{2}}{\left( m+M \right)^{2}}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}=2$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$		$$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$