| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | | $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц: | | Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц: |
| | | |
| $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | | $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ |
| $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | | $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ |
| | | |
| где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | | где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: |
| | | |
| $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | | $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ |
| | | |
| Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | | Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): |
| | | |
| $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | | $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ |
| | | |
| Используя уравнения (1)-(4) найдём: | | Используя уравнения (1)-(4) найдём: |
| | | |
| $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | | $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ |
| $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | | $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ |
| | | |
| Можно выразить $\upsilon^{2}$: | | Можно выразить $\upsilon^{2}$: |
| | | |
| $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | | $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ |
| | | |
| Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | | Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: |
| | | |
| $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | | $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ |
| | | |
| Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет: | | Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет: |
| | | |
| $$K_{отн}+U=0 \tag{6}$$ | | $$K_{отн}+U=0 \tag{6}$$ |
| | | |
| В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми. | | В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми. |
| | | |
| Потенциальная энергия взаимодействия разноименных зарядов: | | Потенциальная энергия взаимодействия разноименных зарядов: |
| | | |
| $$U=-\frac{kq^{2}}{r}$$ | | $$U=-\frac{kq^{2}}{r}$$ |
| | | |
| Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс: | | Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс: |
| | | |
| $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$ | | $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$ |
| | | |
| где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс: | | где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс: |
| | | |
| $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ} \tag{7}$$ | | $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ} \tag{7}$$ |
| | | |
| здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс. | | здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс. |
| | | |
| Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс: | | Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс: |
| | | |
| $$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{8}$$ | | $$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{8}$$ |
| $$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{9}$$ | | $$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ} \tag{9}$$ |
| | | |
| При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$. | | При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$. |
| | | |
| Подставим (8) и (9) в (7): | | Подставим (8) и (9) в (7): |
| | | |
| $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}-\vec V^{'}+\vec V_{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V^{'}=n\vec \upsilon-\vec V=n\vec \upsilon+\frac{m}{M}\vec \upsilon=\left( n+\frac{m}{M} \right)\vec \upsilon$$ | | $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}-\vec V^{'}+\vec V_{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V^{'}=n\vec \upsilon-\vec V=n\vec \upsilon+\frac{m}{M}\vec \upsilon=\left( n+\frac{m}{M} \right)\vec \upsilon$$ |
| | | |
| $$\upsilon_{отн}^{2}=\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$ | | $$\upsilon_{отн}^{2}=\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$ |
| | | |
| Выразим $K_{отн}$: | | Выразим $K_{отн}$: |
| | | |
| $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$ | | $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}$$ |
| | | |
| Подставим в (6): | | Подставим в (6): |
| | | |
| $$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$ | | $$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\upsilon^{2}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$ |
| | | |
| Подставим $\upsilon^{2}$ из выражения (5): | | Подставим $\upsilon^{2}$ из выражения (5): |
| | | |
| $$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$ | | $$\frac{1}{2}\cdot\frac{mM}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r}-\frac{kq^{2}}{r}=0$$ |
| | | |
| Сократим на $\frac{kq^{2}}{r}$ и упростим: | | Сократим на $\frac{kq^{2}}{r}$ и упростим: |
| | | |
| $$\frac{M^{2}}{\left( m+M \right)^{2}}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}=2$$ | | $$\frac{M^{2}}{\left( m+M \right)^{2}}\left( n+\frac{m}{M} \right)^{2}=2$$ |
| | | |
| Извлекаем корень: | | Извлекаем корень: |
| | | |
| $$\frac{M}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)=\sqrt{2}$$ | | $$\frac{M}{m+M}\left( n+\frac{m}{M} \right)=\sqrt{2}$$ |
| | | |
