Added 1.3.30&1.4.1-1.4.4

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #1483 GitHub e6f2105 позже →
ru/1.3.30.md +114 −0
@@ -0,0 +1,114 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
+ </p>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+
+ <p>Используя результат, полученный в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>, в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:</p>
+ <p class="exp">
+ $v_x = v \cos \alpha$ <br>
+ $v_y = v \sin \alpha - gt$
+ </p>
+ <p>Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:</p>
+ <p class="exp">
+ $x = vt \cos \alpha$ <br>
+ $y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$
+ </p>
+ <p>В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:</p>
+ <p class="exp">
+ $L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $<br>
+ $L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$
+ </p>
+ <p>Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:</p>
+ <p class="exp">
+ $L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$ <br>
+ $\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $<br>
+ $\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$
+ </p>
+ <p>Осталось решить неравенство:</p>
+ <p class="exp">
+ $2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$
+ </p>
+ <p>Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:</p>
+ <p class="exp">
+ $t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$ <br>
+ $t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$ <br>
+ $t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$ <br>
+ $\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$
+ </p>
+ <p>Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:</p>
+ <p class="exp">
+ $\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$
+ </p>
+ <p>Если минимум равен $t_2$, получаем решение:</p>
+ <p class="exp">
+ $\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$
+ </p>
+
+
+ <h4>
+ Ответ:
+ </h4>
+ <p>$t=(V/g)\sqrt{9\sin^{2}\alpha-8}\text{ при }\sin\alpha>\sqrt{8/9};$</p>
+ <p>$ t=0\text{ при }\sin\alpha<\sqrt{8/9}.$</p>
+
+
+ <br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>