Updated centering 1.1.10-1.5.20

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #1572 предыдущая #1483 GitHub 76144e5 ← раньше позже →
ru/1.3.30.md +11 −11
@@ -58,37 +58,37 @@
<p>Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:</p>
<p class="exp">
$x = vt \cos \alpha$ <br>
− $y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$
+ $$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$$
</p>
<p>В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:</p>
<p class="exp">
$L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $<br>
− $L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$
+ $$L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$$
</p>
<p>Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:</p>
<p class="exp">
− $L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$ <br>
− $\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $<br>
− $\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$
+ $$L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$$
+ $$\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $$
+ $$\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$$
</p>
<p>Осталось решить неравенство:</p>
<p class="exp">
$2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$
</p>
<p>Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:</p>
<p class="exp">
− $t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$ <br>
− $t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$ <br>
− $t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$ <br>
− $\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$
+ $$t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$$
+ $$t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$
+ $$t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$
+ $$\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
</p>
<p>Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:</p>
<p class="exp">
− $\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$
+ $$\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$$
</p>
<p>Если минимум равен $t_2$, получаем решение:</p>
<p class="exp">
− $\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$
+ $$\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
</p>
ещё строк без изменений 20