| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <div id = "logo"> | | <div id = "logo"> |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке? | | $1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке? |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <p>Используя результат, полученный в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>, в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:</p> | | <p>Используя результат, полученный в <a href="../1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>, в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $v_x = v \cos \alpha$ <br> | | $v_x = v \cos \alpha$ <br> |
| $v_y = v \sin \alpha - gt$ | | $v_y = v \sin \alpha - gt$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:</p> | | <p>Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $x = vt \cos \alpha$ <br> | | $x = vt \cos \alpha$ <br> |
| $$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$$ | | $$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:</p> | | <p>В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $<br> | | $L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $<br> |
| $$L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$$ | | $$L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:</p> | | <p>Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$$ | | $$L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$$ |
| $$\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $$ | | $$\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $$ |
| $$\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$$ | | $$\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Осталось решить неравенство:</p> | | <p>Осталось решить неравенство:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$ | | $2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:</p> | | <p>Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$$ | | $$t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$$ |
| $$t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ | | $$t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ |
| $$t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ | | $$t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ |
| $$\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$ | | $$\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:</p> | | <p>Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$$ | | $$\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Если минимум равен $t_2$, получаем решение:</p> | | <p>Если минимум равен $t_2$, получаем решение:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$ | | $$\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>$t=(V/g)\sqrt{9\sin^{2}\alpha-8}\text{ при }\sin\alpha>\sqrt{8/9};$</p> | | <p>$t=(V/g)\sqrt{9\sin^{2}\alpha-8}\text{ при }\sin\alpha>\sqrt{8/9};$</p> |
| <p>$ t=0\text{ при }\sin\alpha<\sqrt{8/9}.$</p> | | <p>$ t=0\text{ при }\sin\alpha<\sqrt{8/9}.$</p> |
| | | |
| | | |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
