Решение

$a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$

Где $dx$ - изменение уровня воды:

$$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$

Из геометрии,

$$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$

По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$

Подставляя предыдущие выражения:

$$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$

$б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$:
$$V(t) = \pi R^2(t)h$$
С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то:
$$V(t) = qt$$
Приравнивая выражения получаем:
$$\pi R^2(t)h = qt$$

$$R^2(t) = \frac{qt}{\pi h}$$

$$R(t) = \sqrt{\frac{qt}{\pi h}}$$

Зависимость скорости движения границы пятна $v(t)$ есть производная зависимости радиуса пятна от времени $R(t)$:

$$v(t) = R'(t)$$

$$v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h}$$

$$v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2}$$

Сократив соответсвующие корни, получаем:

$$\boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}}$$