| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. | | $1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст. |
| | | |
| $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. | | $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: | | $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt} | | \frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Где $dx$ - изменение уровня воды: | | Где $dx$ - изменение уровня воды: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0 | | \frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из геометрии, | | Из геометрии, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha | | r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ | | По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ |
| | | |
| Подставляя предыдущие выражения: | | Подставляя предыдущие выражения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s | | v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$: | | $б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$: |
| $$ | | $$ |
| V(t) = \pi R^2(t)h | | V(t) = \pi R^2(t)h |
| $$ | | $$ |
| С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то: | | С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то: |
| $$ | | $$ |
| V(t) = qt | | V(t) = qt |
| $$ | | $$ |
| Приравнивая выражения получаем: | | Приравнивая выражения получаем: |
| $$ | | $$ |
| \pi R^2(t)h = qt | | \pi R^2(t)h = qt |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R^2(t) = \frac{qt}{\pi h} | | R^2(t) = \frac{qt}{\pi h} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h} | | v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2} | | v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сократив соответсвующие корни, получаем: | | Сократив соответсвующие корни, получаем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}} | | \boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ | | а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$ |
