Added 2.5.34,5.6.22(ru); Updated 11.1.14,22,2.1.47

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #1728 GitHub 9af40da позже →
ru/5.6.22.md +113 −0
@@ -0,0 +1,113 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $5.6.22^*.$ В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы $M$. Под поршнем находится одноатомный газ при температуре $T$ и давлении $P$. Внутреннее сечение цилиндра $S$, высота той части сосуда, внутри которой находится газ, $H$. Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически?
+
+ </p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="180" />
+ <figcaption>
+ К задаче 5.6.22
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+ <p>
+ a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе
+ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \;(1)$$
+ где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как
+ $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(2)$$
+ Подставляя $(2)$ в $(1)$
+ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(3)$$
+ Из закона Бойля-Мариотта
+ $$PSH = P'Sy \;(4)$$
+ Применение уравнения состояния к начальному состоянию,
+ $$n = \frac{PSH}{RT} \;(5)$$
+ $$PSH = nRT$$
+ Применение второго закона Ньютона
+ $$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$
+ В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно
+ $$Mg = P'S \;(6)$$
+ Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$
+ $$y = \frac{PSH}{Mg} \;(7)$$
+ Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$
+ $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$
+ b) Из закона Пуассона
+ $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \;(8)$$
+ Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна
+ $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \;(9)$$
+ Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив
+ $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \;(10)$$
+ Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$,
+ <div class="scroll-wrapper">
+ $$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \;(11)$$
+ </div>
+ Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$
+ $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$
+ </p>
+
+ <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ BSc. Luis Daniel Fernández Quintana<br>
+ Physics Department (FCNE)<br>
+ Universidad de Oriente, Cuba<br>
+ </p>
+<br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>