Updated greek laters @ latex compiling

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #9967 предыдущая #9515 GitHub dbb31ba ← раньше позже →
ru/5.6.22.md +11 −11
@@ -65,33 +65,33 @@
<h3> Решение: </h3>
<p>
a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе
− $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \;(1)$$
+ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \quad(1)$$
где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как
− $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(2)$$
+ $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \quad(2)$$
Подставляя $(2)$ в $(1)$
− $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(3)$$
+ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \quad(3)$$
Из закона Бойля-Мариотта
− $$PSH = P'Sy \;(4)$$
+ $$PSH = P'Sy \quad(4)$$
Применение уравнения состояния к начальному состоянию,
− $$n = \frac{PSH}{RT} \;(5)$$
+ $$n = \frac{PSH}{RT} \quad(5)$$
$$PSH = nRT$$
Применение второго закона Ньютона
$$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$
В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно
− $$Mg = P'S \;(6)$$
+ $$Mg = P'S \quad(6)$$
Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$
− $$y = \frac{PSH}{Mg} \;(7)$$
+ $$y = \frac{PSH}{Mg} \quad(7)$$
Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$
$$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$
b) Из закона Пуассона
− $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \;(8)$$
+ $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \quad(8)$$
Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна
− $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \;(9)$$
+ $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \quad(9)$$
Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив
− $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \;(10)$$
+ $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \quad(10)$$
Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$,
<div class="scroll-wrapper">
− $$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \;(11)$$
+ $$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \quad(11)$$
</div>
Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$
$$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$
ещё строк без изменений 21