Правка разделов «Решение», «Элементарный подход», «Неэлементарный подход»

igor правка от 13 апр. 2026 г., 07:27

правка #17873 предыдущая #17872 ← раньше позже →

ru/14.1.4.md +27 −2

			### Условие

			$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?

			![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)


			### Решение
		@@ -9,6 +9,9 @@Решение

			Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2].

		+
		+	#### Элементарный подход
		+
			Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).

			Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

			Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:

			$$
			с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},\quad
			%
			с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.
			$$

			где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

			Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:

			$$
			\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},\quad
			%
			\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.
			$$

			Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

			$$
			\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
			$$

			Знаем, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

			$$
			\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.
			$$

			Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

			$$
		@@ -49,27 +52,49 @@Элементарный подход
			\sin\Delta=2k\sin\alpha.
			$$

		−	С учетом ~~малости~~ $k=v/c\ll1$ правая часть мала, откуда
		+	С учетом $k=v/c\ll1$ правая часть мала, откуда

			$$
		−	~~\Delta=2k\sin~~\alpha.
		+	\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
			$$

		+	Получен ответ в элементарной форме.


		+	#### Неэлементарный подход

		+	Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

		+	Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

		+	Посчитаем неподвижной(!) систему $K'$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

		+	Подвижной(!) системой $K$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
			#### Литература

			[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.

			[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.

			[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.

		+	[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.
		+
		+	[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.

			#### Ответ

			[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	### Условие		### Условие

	$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?		$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?

	![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)		![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)


	### Решение		### Решение
	@@ -9,6 +9,9 @@Решение

	Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2].		Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2].


			#### Элементарный подход

	Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).		Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).

	Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.		Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

	Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:		Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:

	$$		$$
	с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},\quad		с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},\quad
	%		%
	с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.		с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.
	$$		$$

	где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.		где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

	Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:		Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:

	$$		$$
	\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},\quad		\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},\quad
	%		%
	\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.		\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.
	$$		$$

	Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:		Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

	$$		$$
	\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.		\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
	$$		$$

	Знаем, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:		Знаем, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

	$$		$$
	\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.		\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.
	$$		$$

	Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:		Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

	$$		$$
	@@ -49,27 +52,49 @@Элементарный подход
	\sin\Delta=2k\sin\alpha.		\sin\Delta=2k\sin\alpha.
	$$		$$

	С учетом ~~малости~~ $k=v/c\ll1$ правая часть мала, откуда		С учетом $k=v/c\ll1$ правая часть мала, откуда

	$$		$$
	~~\Delta=2k\sin~~\alpha.		\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
	$$		$$

			Получен ответ в элементарной форме.


			#### Неэлементарный подход

			Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

			Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

			Посчитаем неподвижной(!) систему $K'$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

			Подвижной(!) системой $K$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.













	#### Литература		#### Литература

	[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.		[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.

	[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.		[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.

	[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.		[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.

			[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.

			[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]