Правка разделов «Элементарный подход», «Неэлементарный подход», «Литература»
ru/14.1.4.md
+18 −13
| ### Условие | |||
| $14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2]. | |||
| #### Элементарный подход | |||
| Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок). | |||
| @@ -16,7 +16,7 @@Элементарный подход | |||
| Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной. | |||
| − | Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ | ||
| + | Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/c}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$. | ||
| Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]: | |||
| $$ | |||
| V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}, | |||
| $$ | |||
| где $c$ есть скорость света. | |||
| По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности: | |||
| $$ | |||
| с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | |||
| \quad | |||
| с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | |||
| $$ | |||
| где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$. | |||
| Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем | |||
| $$ | |||
| \cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta}, | |||
| \quad | |||
| \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}. | |||
| $$ | |||
| Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей: | |||
| $$ | |||
| \sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha. | |||
| $$ | |||
| Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее: | |||
| $$ | |||
| \sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha. | |||
| $$ | |||
| Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что: | |||
| $$ | |||
| \sin\Delta=k\sin\alpha. | |||
| $$ | |||
| Правая часть мала, поэтому | |||
| $$ | |||
| \Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha. | |||
| $$ | |||
| А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме | |||
| $$ | |||
| \boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.} | |||
| $$ | |||
| #### Неэлементарный подход | |||
| Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5]. | |||
| Сначала для удобства переобозначим системы отсчета. | |||
| Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды. | |||
| Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз. | |||
| @@ -88,17 +88,17 @@Неэлементарный подход | |||
| Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так: | |||
| $$ | |||
| − | с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha- | ||
| + | с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-V}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}, | ||
| \quad | |||
| − | с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1- | ||
| + | с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}. | ||
| $$ | |||
| − | Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $ | ||
| + | Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$: | ||
| $$ | |||
| − | \cos\beta=\frac{\cos\alpha- | ||
| + | \cos\beta=\frac{\cos\alpha-k}{1-k\cos\alpha}, | ||
| \quad | |||
| − | \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1- | ||
| + | \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-k^2}}{1-k\cos\alpha}. | ||
| $$ | |||
| Для тангенса половинного угла | |||
| $$ | |||
| \tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}. | |||
| $$ | |||
| @@ -110,17 +110,17 @@Неэлементарный подход | |||
| Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить: | |||
| $$ | |||
| − | \boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+ | ||
| + | \boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.}\tag{1} | ||
| $$ | |||
| − | |||
| + | Это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла. | ||
| Представим далее | |||
| $$ | |||
| \beta=\alpha+\Delta, | |||
| \quad | |||
| − | B=\sqrt{\frac{1+ | ||
| + | B=\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}. | ||
| $$ | |||
| Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде | |||
| $$ | |||
| \tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2}, | |||
| $$ | |||
| можно от формулы $(1)$ прийти к | |||
| $$ | |||
| \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2} | |||
| $$ | |||
| Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$ | |||
| $$ | |||
| \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, | |||
| \quad | |||
| \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, | |||
| $$ | |||
| формулу $(2)$ приводим к | |||
| $$ | |||
| @@ -149,8 +149,13 @@Неэлементарный подход | |||
| \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha}, | |||
| $$ | |||
| − | |||
| + | а с учетом | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{B+1}{B-1}\approx\frac{2c}{V}=\frac{c}{v} | ||
| + | $$ | ||
| + | из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение | ||
| + | |||
| $$ | |||
| \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.} | |||
| $$ | |||
| Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то | |||
| $$ | |||
| \tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha. | |||
| $$ | |||
| Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$. | |||
| @@ -165,7 +170,7 @@Неэлементарный подход | |||
| #### Литература | |||
| − | [1] [Аберрация света | ||
| + | [1] [Аберрация света](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org. | ||
| [2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114. | |||
| [3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5. | |||
| [4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org. | |||
| [5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38. | |||
| [6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru. | |||
| @@ -181,7 +186,7 @@Литература | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| − | \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha | ||
| + | \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\approx10^{-4}\sin\alpha, | ||
| $$ | |||
| − | где $v=30~\text{км/ | ||
| + | где $v=30~\text{км/с}$ есть скорость Земли относительно Солнца. | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? | $14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2]. | Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2]. | ||
| #### Элементарный подход | #### Элементарный подход | ||
| Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок). | Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок). | ||
| @@ -16,7 +16,7 @@Элементарный подход | |||
| Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной. | Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной. | ||
| Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ |
Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/c}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$. | ||
| Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]: | Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]: | ||
| $$ | $$ | ||
| V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}, | V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $c$ есть скорость света. | где $c$ есть скорость света. | ||
| По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности: | По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности: | ||
| $$ | $$ | ||
| с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | ||
| \quad | \quad | ||
| с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$. | где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$. | ||
| Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем | Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем | ||
| $$ | $$ | ||
| \cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta}, | \cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta}, | ||
| \quad | \quad | ||
| \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}. | \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей: | Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей: | ||
| $$ | $$ | ||
| \sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha. | \sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее: | Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее: | ||
| $$ | $$ | ||
| \sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha. | \sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что: | Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что: | ||
| $$ | $$ | ||
| \sin\Delta=k\sin\alpha. | \sin\Delta=k\sin\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| Правая часть мала, поэтому | Правая часть мала, поэтому | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha. | \Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме | А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.} | \boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Неэлементарный подход | #### Неэлементарный подход | ||
| Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5]. | Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5]. | ||
| Сначала для удобства переобозначим системы отсчета. | Сначала для удобства переобозначим системы отсчета. | ||
| Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды. | Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды. | ||
| Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз. | Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз. | ||
| @@ -88,17 +88,17 @@Неэлементарный подход | |||
| Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так: | Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так: | ||
| $$ | $$ | ||
| с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha- |
с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-V}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}, | ||
| \quad | \quad | ||
| с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1- |
с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $ |
Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$: | ||
| $$ | $$ | ||
| \cos\beta=\frac{\cos\alpha- |
\cos\beta=\frac{\cos\alpha-k}{1-k\cos\alpha}, | ||
| \quad | \quad | ||
| \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1- |
\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-k^2}}{1-k\cos\alpha}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Для тангенса половинного угла | Для тангенса половинного угла | ||
| $$ | $$ | ||
| \tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}. | \tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -110,17 +110,17 @@Неэлементарный подход | |||
| Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить: | Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+ |
\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.}\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| Это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла. | |||
| Представим далее | Представим далее | ||
| $$ | $$ | ||
| \beta=\alpha+\Delta, | \beta=\alpha+\Delta, | ||
| \quad | \quad | ||
| B=\sqrt{\frac{1+ |
B=\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде | Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде | ||
| $$ | $$ | ||
| \tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2}, | \tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2}, | ||
| $$ | $$ | ||
| можно от формулы $(1)$ прийти к | можно от формулы $(1)$ прийти к | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2} | \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$ | Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, | \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, | ||
| \quad | \quad | ||
| \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, | \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, | ||
| $$ | $$ | ||
| формулу $(2)$ приводим к | формулу $(2)$ приводим к | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -149,8 +149,13 @@Неэлементарный подход | |||
| \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha}, | \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha}, | ||
| $$ | $$ | ||
| а с учетом | |||
| $$ | |||
| \frac{B+1}{B-1}\approx\frac{2c}{V}=\frac{c}{v} | |||
| $$ | |||
| из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение | |||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.} | \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.} | ||
| $$ | $$ | ||
| Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то | Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то | ||
| $$ | $$ | ||
| \tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha. | \tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha. | ||
| $$ | $$ | ||
| Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$. | Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$. | ||
| @@ -165,7 +170,7 @@Неэлементарный подход | |||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] [Аберрация света |
[1] [Аберрация света](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org. | ||
| [2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114. | [2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114. | ||
| [3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5. | [3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5. | ||
| [4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org. | [4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org. | ||
| [5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38. | [5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38. | ||
| [6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru. | [6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru. | ||
| @@ -181,7 +186,7 @@Литература | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| \tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha |
\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\approx10^{-4}\sin\alpha, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $v=30~\text{км/ |
где $v=30~\text{км/с}$ есть скорость Земли относительно Солнца. | ||