| @@ -1,7 +1,7 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают |
| $7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают |
| к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0,1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки. |
| к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки. |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле: |
| Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле: |
| $$ | | $$ |
| E=\frac{U}{d} | | E=\frac{U}{d} |
| $$ | | $$ |
| На пылинку действует сонаправленная с полем сила Лоренца, причем эта сила постоянна: | | На пылинку действует сонаправленная с полем сила Лоренца, причем эта сила постоянна: |
| $$ | | $$ |
| F_L=qE | | F_L=qE |
| $$ | | $$ |
| Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения. | | Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения. |
| | | |
| Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям | | Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям |
| $$ | | $$ |
| mg-\beta v_y=0 | | mg-\beta v_y=0 |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x | | m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x |
| $$ | | $$ |
| Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения: | | Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения: |
| $$ | | $$ |
| m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt | | m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt | | \int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt |
| $$ | | $$ |
| Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится: | | Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится: |
| $$ | | $$ |
| \beta=\frac{mg}{v_y} | | \beta=\frac{mg}{v_y} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\beta /mt} \right) | | v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\beta /mt} \right) |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right) | | \frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из чего нетрудно выразить заряд: | | Из чего нетрудно выразить заряд: |
| $$ | | $$ |
| q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1} | | q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1} |
| $$ | | $$ |
| В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места): | | В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места): |
| $$ | | $$ |
| \frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a | | \frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a |
| $$ | | $$ |
| значит, можно считать что | | значит, можно считать что |
| $$ | | $$ |
| \frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a | | \frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8} | | \frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a | | \left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| q=10^{−14} \ \text{Кл} | | q=10^{−14} \ \text{Кл} |
| $$ | | $$ |
| $No:$ | | $No:$ |
| - так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак | | - так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак |
| - У Савченко ошибка/опечатка в ответе | | - У Савченко ошибка/опечатка в ответе |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}} | | \boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}} |
| $$ | | $$ |
