Правка раздела «Решение»

jzmicer правка от 20 мая 2026 г., 15:15

правка #18076 предыдущая #18075 ← раньше позже →

ru/7.1.8.md +2 −2

			### Условие

			$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.

			### Решение

			Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:

			$$
		@@ -10,7 +10,7 @@Решение
			E=\frac{U}{d}
			$$

		−	На пылинку действует сонаправленная с полем сила ~~Лоренц~~а, причем эта сила постоянна:
		+	На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:

			$$
			F_L=qE
			$$

			Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

			Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям

			$$
			mg-\beta v_y=0
			$$

			$$
			m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
			$$

			Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:

			$$
			m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
			$$

			$$
			\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
			$$

			Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:

			$$
			\beta=\frac{mg}{v_y}
		@@ -45,7 +45,7 @@Решение
			$$

			$$
		−	v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-~~\beta /m~~t} \right)
		+	v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)
			$$

			$$
			\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
			$$

			Из чего нетрудно выразить заряд:

			$$
			q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
			$$

			В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):

			$$
			\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
			$$

			значит, можно считать что

			$$
			\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
			$$

			$$
			\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
			$$

			$$
			\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
			$$

			$$
			q=10^{−14} \ \text{Кл}
			$$

			$No:$
			- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
			- У Савченко ошибка/опечатка в ответе

			#### Ответ

			$$
			\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}
			$$
		ещё строк без изменений 42

	### Условие		### Условие

	$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.		$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.

	### Решение		### Решение

	Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:		Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:

	$$		$$
	@@ -10,7 +10,7 @@Решение
	E=\frac{U}{d}		E=\frac{U}{d}
	$$		$$

	На пылинку действует сонаправленная с полем сила ~~Лоренц~~а, причем эта сила постоянна:		На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:

	$$		$$
	F_L=qE		F_L=qE
	$$		$$

	Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.		Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

	Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям		Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям

	$$		$$
	mg-\beta v_y=0		mg-\beta v_y=0
	$$		$$

	$$		$$
	m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x		m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
	$$		$$

	Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:		Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:

	$$		$$
	m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt		m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
	$$		$$

	$$		$$
	\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt		\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
	$$		$$

	Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:		Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:

	$$		$$
	\beta=\frac{mg}{v_y}		\beta=\frac{mg}{v_y}
	@@ -45,7 +45,7 @@Решение
	$$		$$

	$$		$$
	v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-~~\beta /m~~t} \right)		v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)		\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
	$$		$$

	Из чего нетрудно выразить заряд:		Из чего нетрудно выразить заряд:

	$$		$$
	q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}		q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
	$$		$$

	В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):		В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):

	$$		$$
	\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a		\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
	$$		$$

	значит, можно считать что		значит, можно считать что

	$$		$$
	\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a		\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}		\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
	$$		$$

	$$		$$
	\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a		\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
	$$		$$

	$$		$$
	q=10^{−14} \ \text{Кл}		q=10^{−14} \ \text{Кл}
	$$		$$

	$No:$		$No:$
	- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак		- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
	- У Савченко ошибка/опечатка в ответе		- У Савченко ошибка/опечатка в ответе

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}		\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 42