Правка разделов «Дополнение», «Ответ»

igor правка от 21 окт. 2026 г., 13:10

правка #22236 предыдущая #22235 ← раньше

ru/7.1.8.md +36 −1

			### Условие

			$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{-12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $v_y = 1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.

			### Решение

			Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:

			$$
			E=\frac{U}{d}
			$$

			На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:

			$$
			F_L=qE
			$$

			Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

			Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям

			$$
			mg-\beta v_y=0
			$$

			$$
			m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
			$$

			Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:

			$$
			m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
			$$

			$$
			\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
			$$

			Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:

			$$
			\beta=\frac{mg}{v_y}
			$$

			$$
			v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)
			$$

			$$
			\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
			$$

			Из чего нетрудно выразить заряд:

			$$
			q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
			$$

			В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):

			$$
			\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
			$$

			Это очень большое число, значит, можно считать что

			$$
			\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
			$$

			$$
			\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
			$$

			$$
			\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
			$$

			$$
			q=10^{-14} \ \text{Кл}
			$$

			$No:$
			- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
			- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
			- можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \\% $ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)


			### Альтернативное решение

			Сразу после включения поля ($t = 0$) второй закон Ньютона по оси поля

			$$
			Eq - kv_x = m\,dv_x/dt,\tag{1}
			$$

			где $E$ есть напряженность поля, $k$ есть коэффициент пропорциональности силы сопротивления.

			Найдем производную $(1)$ для упрощения описания процесса:

			$$
			-ka_x = m\,da_x/dt.\tag{2}
			$$

			Опишем по $(2)$ функцию $a_x(t)$ (ускорение по оси поля). При $t = 0$ по $(1)$ имеем $a_x(0) = Eq/m > 0$. По $(2)$ производная $a_x(t)$ отрицательна после начала и пропорциональна значению самой функции, то есть спад замедляется у функции $a_x$ и она стремится к нулю.

			Уравнение $(2)$ называется <i>линейным</i>, оно описывает переход величины от начального значения ($Eq/m$) к некоторому установившемуся ($0$). Если выделить саму функцию из $(2)$

			$$
			a_x = -\frac{m}{k}\frac{da_x}{dt},
			$$

			то коэффициент $m/k$ размерности времени перед производной по порядку величины дает время установления значения функции.

			Таким образом, через время порядка $m/k$ ускорение станет ноль и движение тела станет равномерным по оси поля. Оказывается, что у нас время обнуления ускорения много меньше времени движения $t_1$ по оси поля:

			$$
			\boxed{m/k \ll t_1.}
			$$

			Это значит, что мы можем считать движение по оси поля почти сразу <i>равномерным</i> со скоростью $d/(2t_1)$.

			Поэтому можем считать, что сразу выполняется равенство силы поля и сопротивления по оси поля. Сразу по оси поля скорость тела $v_x^* = d/(2t_1)$, поэтому уравнение сил

			$$
			Eq = kv_x^*
			$$

			с учетом движения без поля $mg - kv_y = 0$ дает

			$$
			\boxed{q = \frac{mgd^2}{2Uv_yt_1} \approx 10^{-14}~\text{Кл}.}
		@@ -135,8 +135,43 @@Альтернативное решение
			$$


		+	#### Дополнение
		+
		+	Метод графических оценок. Формулу $(1)$ домножим на $dt$ и учтем $ds_x = v_x\,dt$:
		+
		+	$$
		+	Eq\,dt - k\,ds_x = m\,dv_x.
		+	$$
		+
		+	Теперь просуммируем такие уравнения в конечные приращения от нуля до соответственно произвольных $t, s_x, v_x$:
		+
		+	$$
		+	Eqt - ks_x = mv_x.\tag{3}
		+	$$
		+
		+	По формуле $(1)$ имеем рост скорости от нуля с уменьшающейся производной $dv_x/dt$ (темп роста уменьшается). Представим по графику. Функция $v_x(t)$ выгнутая вверх по сравнению с линейным ростом до текущей скорости. Пусть через время $t_1$ у стенки скорость действительно $v_x^$ по оси поля. Если эта скорость за данное время была достигнута с постоянным ускорением, то средняя скорость на всем пути вдоль поля равна $v_x^/2 = d/(2t_1)$ (кинематика). Но у нас график действительно выгнут вверх, соответственно, и путь больше; значит действительно за такое же время средняя скорость $d/(2t_1)$ больше, но ограничивается интервалом $\left[v_x^/2; v_x^\right]$, то есть величиной порядка $v_x^*$.
		+
		+	По сказанному оцениваем конечную скорость движения порядка средней
		+
		+	$$
		+	\boxed{v_x^* \sim d/(2t_1).}
		+	$$
		+
		+	Теперь это в формулу $(3)$ с оценкой для времени $t_1$
		+
		+	$$
		+	Eqt_1 - kd/2 \sim md/(2t_1).\tag{3}
		+	$$
		+
		+	Далее численно замечаем $md/(2t_1) \ll kd/2$ и пренебрегаем слагаемым с массой в правой части. Далее находим заряд
		+
		+	$$
		+	q \sim 10^{-14}~\text{Кл}.
		+	$$
		+
		+
			#### Ответ

			$$
		−	~~\boxed{~~q = 10^{-14} ~~\ \text~~{Кл}}
		+	q = 10^{-14}~\text{Кл}
			$$

	### Условие		### Условие

	$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{-12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $v_y = 1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.		$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{-12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $v_y = 1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.

	### Решение		### Решение

	Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:		Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:

	$$		$$
	E=\frac{U}{d}		E=\frac{U}{d}
	$$		$$

	На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:		На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:

	$$		$$
	F_L=qE		F_L=qE
	$$		$$

	Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.		Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

	Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям		Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям

	$$		$$
	mg-\beta v_y=0		mg-\beta v_y=0
	$$		$$

	$$		$$
	m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x		m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
	$$		$$

	Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:		Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:

	$$		$$
	m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt		m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
	$$		$$

	$$		$$
	\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt		\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
	$$		$$

	Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:		Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:

	$$		$$
	\beta=\frac{mg}{v_y}		\beta=\frac{mg}{v_y}
	$$		$$

	$$		$$
	v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)		v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)		\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
	$$		$$

	Из чего нетрудно выразить заряд:		Из чего нетрудно выразить заряд:

	$$		$$
	q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}		q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
	$$		$$

	В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):		В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):

	$$		$$
	\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a		\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
	$$		$$

	Это очень большое число, значит, можно считать что		Это очень большое число, значит, можно считать что

	$$		$$
	\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a		\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}		\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
	$$		$$

	$$		$$
	\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a		\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
	$$		$$

	$$		$$
	q=10^{-14} \ \text{Кл}		q=10^{-14} \ \text{Кл}
	$$		$$

	$No:$		$No:$
	- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак		- так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
	- У Савченко ошибка/опечатка в ответе		- У Савченко ошибка/опечатка в ответе
	- можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \\% $ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)		- можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \\% $ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)


	### Альтернативное решение		### Альтернативное решение

	Сразу после включения поля ($t = 0$) второй закон Ньютона по оси поля		Сразу после включения поля ($t = 0$) второй закон Ньютона по оси поля

	$$		$$
	Eq - kv_x = m\,dv_x/dt,\tag{1}		Eq - kv_x = m\,dv_x/dt,\tag{1}
	$$		$$

	где $E$ есть напряженность поля, $k$ есть коэффициент пропорциональности силы сопротивления.		где $E$ есть напряженность поля, $k$ есть коэффициент пропорциональности силы сопротивления.

	Найдем производную $(1)$ для упрощения описания процесса:		Найдем производную $(1)$ для упрощения описания процесса:

	$$		$$
	-ka_x = m\,da_x/dt.\tag{2}		-ka_x = m\,da_x/dt.\tag{2}
	$$		$$

	Опишем по $(2)$ функцию $a_x(t)$ (ускорение по оси поля). При $t = 0$ по $(1)$ имеем $a_x(0) = Eq/m > 0$. По $(2)$ производная $a_x(t)$ отрицательна после начала и пропорциональна значению самой функции, то есть спад замедляется у функции $a_x$ и она стремится к нулю.		Опишем по $(2)$ функцию $a_x(t)$ (ускорение по оси поля). При $t = 0$ по $(1)$ имеем $a_x(0) = Eq/m > 0$. По $(2)$ производная $a_x(t)$ отрицательна после начала и пропорциональна значению самой функции, то есть спад замедляется у функции $a_x$ и она стремится к нулю.

	Уравнение $(2)$ называется <i>линейным</i>, оно описывает переход величины от начального значения ($Eq/m$) к некоторому установившемуся ($0$). Если выделить саму функцию из $(2)$		Уравнение $(2)$ называется <i>линейным</i>, оно описывает переход величины от начального значения ($Eq/m$) к некоторому установившемуся ($0$). Если выделить саму функцию из $(2)$

	$$		$$
	a_x = -\frac{m}{k}\frac{da_x}{dt},		a_x = -\frac{m}{k}\frac{da_x}{dt},
	$$		$$

	то коэффициент $m/k$ размерности времени перед производной по порядку величины дает время установления значения функции.		то коэффициент $m/k$ размерности времени перед производной по порядку величины дает время установления значения функции.

	Таким образом, через время порядка $m/k$ ускорение станет ноль и движение тела станет равномерным по оси поля. Оказывается, что у нас время обнуления ускорения много меньше времени движения $t_1$ по оси поля:		Таким образом, через время порядка $m/k$ ускорение станет ноль и движение тела станет равномерным по оси поля. Оказывается, что у нас время обнуления ускорения много меньше времени движения $t_1$ по оси поля:

	$$		$$
	\boxed{m/k \ll t_1.}		\boxed{m/k \ll t_1.}
	$$		$$

	Это значит, что мы можем считать движение по оси поля почти сразу <i>равномерным</i> со скоростью $d/(2t_1)$.		Это значит, что мы можем считать движение по оси поля почти сразу <i>равномерным</i> со скоростью $d/(2t_1)$.

	Поэтому можем считать, что сразу выполняется равенство силы поля и сопротивления по оси поля. Сразу по оси поля скорость тела $v_x^* = d/(2t_1)$, поэтому уравнение сил		Поэтому можем считать, что сразу выполняется равенство силы поля и сопротивления по оси поля. Сразу по оси поля скорость тела $v_x^* = d/(2t_1)$, поэтому уравнение сил

	$$		$$
	Eq = kv_x^*		Eq = kv_x^*
	$$		$$

	с учетом движения без поля $mg - kv_y = 0$ дает		с учетом движения без поля $mg - kv_y = 0$ дает

	$$		$$
	\boxed{q = \frac{mgd^2}{2Uv_yt_1} \approx 10^{-14}~\text{Кл}.}		\boxed{q = \frac{mgd^2}{2Uv_yt_1} \approx 10^{-14}~\text{Кл}.}
	@@ -135,8 +135,43 @@Альтернативное решение
	$$		$$


			#### Дополнение

			Метод графических оценок. Формулу $(1)$ домножим на $dt$ и учтем $ds_x = v_x\,dt$:

			$$
			Eq\,dt - k\,ds_x = m\,dv_x.
			$$

			Теперь просуммируем такие уравнения в конечные приращения от нуля до соответственно произвольных $t, s_x, v_x$:

			$$
			Eqt - ks_x = mv_x.\tag{3}
			$$

			По формуле $(1)$ имеем рост скорости от нуля с уменьшающейся производной $dv_x/dt$ (темп роста уменьшается). Представим по графику. Функция $v_x(t)$ выгнутая вверх по сравнению с линейным ростом до текущей скорости. Пусть через время $t_1$ у стенки скорость действительно $v_x^$ по оси поля. Если эта скорость за данное время была достигнута с постоянным ускорением, то средняя скорость на всем пути вдоль поля равна $v_x^/2 = d/(2t_1)$ (кинематика). Но у нас график действительно выгнут вверх, соответственно, и путь больше; значит действительно за такое же время средняя скорость $d/(2t_1)$ больше, но ограничивается интервалом $\left[v_x^/2; v_x^\right]$, то есть величиной порядка $v_x^*$.

			По сказанному оцениваем конечную скорость движения порядка средней

			$$
			\boxed{v_x^* \sim d/(2t_1).}
			$$

			Теперь это в формулу $(3)$ с оценкой для времени $t_1$

			$$
			Eqt_1 - kd/2 \sim md/(2t_1).\tag{3}
			$$

			Далее численно замечаем $md/(2t_1) \ll kd/2$ и пренебрегаем слагаемым с массой в правой части. Далее находим заряд

			$$
			q \sim 10^{-14}~\text{Кл}.
			$$


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	~~\boxed{~~q = 10^{-14} ~~\ \text~~{Кл}}		q = 10^{-14}~\text{Кл}
	$$		$$