Решение

Эта задача есть в общем видоизменение задачи $3.8.4$ на случай свободного конца среды.

Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов.

Считаем конец свободным (называем его границей) и используем прием задачи $3.8.5$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны от свободной границы.

Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены.

Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн.

Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну.

Смещение в падающей волне слева направо описывается

$$y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right);$$

если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны.

Смещение в мнимой волне справа налево описывается

$$y'=A\sin\left(\omega t\frac{2\pi}{\lambda}x\right).$$

Далее используется учебник Иродова «Волновые процессы». Находим наложение смещений

$$Y=y+y'=2A\sin\omega t\cos\left(-kx\right),$$

где $k=2\pi/\lambda$ (использовали тригонометрию).

Скорость среды

$$u=\dot Y=2\omega A\cos\omega t\cos\left(-kx\right).\tag{1}$$

Относительное удлинение среды

$$\varepsilon=\frac{\partial Y}{\partial x}=2kA\sin\omega t\sin\left(-kx\right).$$

Изменение давления (приращение давления и относительное удлинение противоположны по знаку)

$$\Delta P=-E\varepsilon=-\rho c^2\cdot2\frac{2\pi}{\lambda}A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),$$

что можно упростить до

$$\Delta P=-2\rho c\omega A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),\tag{2}$$

На плоскости границы $x=0$ это дает

$$\boxed{\Delta P^*=0.}$$

Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) $(2)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

Узлы скорости (нули) $(1)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе.

Амплитуду смещения найдем из $(1)$. На границе $x=0$ из этого уравнения

$$u^*=2\omega A\cos\omega t,$$

что смещением начала отсчета времени можно сделать

$$u^*=2\omega A\sin\omega t.$$

По условию

$$u^*= v_0\sin\omega t,$$

откуда, сопоставив две предыдущие формулы

$$A=\frac{v_0}{2\omega}.$$