$3.3.31.$ Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающей гармонические колебания высокой частоты $\omega$, используется «молоточек», включенный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы $m$ прижимается к мембране с силой, регулируемой микрометренным винтом. При разрыве контакта молоточка с мембраной ток в цепи прерывается и в телефоне слышен дребезг. Определите амплитуду колебаний, если дребезг начинается, когда сила прижатия молоточка достигает значения $F$.
### Решение
−
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
−
\usepackage[utf8]{inputenc}
−
\usepackage[T2A]{fontenc}
−
\usepackage[russian]{babel}
−
\usepackage{amsmath,amssymb}
−
\usepackage{tikz}
−
\usepackage{pgfplots}
−
\pgfplotsset{compat=1.18}
−
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
−
−
\begin{document}
−
1. Запишем уравнение движения мембраны:
\[
x(t) = A \sin(\omega t)
\]
Ускорение мембраны при гармонических колебаниях:
\[
a(t) = -\omega^2 A \sin(\omega t)
\]
2. В проекции на ось колебаний второй закон Ньютона для молоточка массы $m$ имеет вид:
\[
F - N_x = m a(t) = -m \omega^2 A \sin(\omega t)
\]
Откуда сила реакции мембраны равна:
\[
N_x(t) = F + m \omega^2 A \sin(\omega t)
\]
3. Покуда $N_x(t) > 0$, молоточек движется вместе с мембраной, и электрическая цепь замкнута.
4. Дребезг (прерывание тока) начинается в тот момент, когда сила реакции впервые касается нуля ($N_x = 0$), т. е. происходит отрыв молоточка от мембраны. Минимальное значение $N_x$ равно:
\[
(N_x)_{\min} = F - m \omega^2 A
\]
5. Условие начала дребезга:
\[
(N_x)_{\min} = 0 \implies F - m \omega^2 A = 0
\]
Отсюда находим амплитуду колебаний:
\[
@@ -50,74 +38,15 @@Решение
A = \frac{F}{m \omega^2}
\]
−
\subsection*{График зависимости$N_x(t)$}
+
### График зависимости
При увеличении амплитуды колебаний кривая $N_x(t)$ «растягивается» по вертикали. Там, где теоретическое значение $N_x(t) < 0$, происходит отрыв молоточка, сила реакции становится $N_x = 0$, и цепь разрывается.
−
\begin{center}
−
\begin{tikzpicture}
−
\begin{axis}[
−
axis lines = middle,
−
xlabel = {$t$},
−
ylabel = {$N_x$},
−
xmin = -0.5, xmax = 7.0,
−
ymin = -1.5, ymax = 5.2,
−
ticks = none,
−
width = 12cm,
−
height = 8.5cm,
−
clip = false, % Предотвращает срезание надписей за пределами осей
−
every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:1)},anchor=west},
−
every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:1)},anchor=south}
$3.3.31.$ Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающей гармонические колебания высокой частоты $\omega$, используется «молоточек», включенный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы $m$ прижимается к мембране с силой, регулируемой микрометренным винтом. При разрыве контакта молоточка с мембраной ток в цепи прерывается и в телефоне слышен дребезг. Определите амплитуду колебаний, если дребезг начинается, когда сила прижатия молоточка достигает значения $F$.
### Решение
### Решение
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
\begin{document}
1. Запишем уравнение движения мембраны:
1. Запишем уравнение движения мембраны:
\[
\[
x(t) = A \sin(\omega t)
x(t) = A \sin(\omega t)
\]
\]
Ускорение мембраны при гармонических колебаниях:
Ускорение мембраны при гармонических колебаниях:
\[
\[
a(t) = -\omega^2 A \sin(\omega t)
a(t) = -\omega^2 A \sin(\omega t)
\]
\]
2. В проекции на ось колебаний второй закон Ньютона для молоточка массы $m$ имеет вид:
2. В проекции на ось колебаний второй закон Ньютона для молоточка массы $m$ имеет вид:
\[
\[
F - N_x = m a(t) = -m \omega^2 A \sin(\omega t)
F - N_x = m a(t) = -m \omega^2 A \sin(\omega t)
\]
\]
Откуда сила реакции мембраны равна:
Откуда сила реакции мембраны равна:
\[
\[
N_x(t) = F + m \omega^2 A \sin(\omega t)
N_x(t) = F + m \omega^2 A \sin(\omega t)
\]
\]
3. Покуда $N_x(t) > 0$, молоточек движется вместе с мембраной, и электрическая цепь замкнута.
3. Покуда $N_x(t) > 0$, молоточек движется вместе с мембраной, и электрическая цепь замкнута.
4. Дребезг (прерывание тока) начинается в тот момент, когда сила реакции впервые касается нуля ($N_x = 0$), т. е. происходит отрыв молоточка от мембраны. Минимальное значение $N_x$ равно:
4. Дребезг (прерывание тока) начинается в тот момент, когда сила реакции впервые касается нуля ($N_x = 0$), т. е. происходит отрыв молоточка от мембраны. Минимальное значение $N_x$ равно:
\[
\[
(N_x)_{\min} = F - m \omega^2 A
(N_x)_{\min} = F - m \omega^2 A
\]
\]
5. Условие начала дребезга:
5. Условие начала дребезга:
\[
\[
(N_x)_{\min} = 0 \implies F - m \omega^2 A = 0
(N_x)_{\min} = 0 \implies F - m \omega^2 A = 0
\]
\]
Отсюда находим амплитуду колебаний:
Отсюда находим амплитуду колебаний:
\[
\[
@@ -50,74 +38,15 @@Решение
A = \frac{F}{m \omega^2}
A = \frac{F}{m \omega^2}
\]
\]
\subsection*{График зависимости$N_x(t)$}
### График зависимости
При увеличении амплитуды колебаний кривая $N_x(t)$ «растягивается» по вертикали. Там, где теоретическое значение $N_x(t) < 0$, происходит отрыв молоточка, сила реакции становится $N_x = 0$, и цепь разрывается.
При увеличении амплитуды колебаний кривая $N_x(t)$ «растягивается» по вертикали. Там, где теоретическое значение $N_x(t) < 0$, происходит отрыв молоточка, сила реакции становится $N_x = 0$, и цепь разрывается.
