1.2.8 | до правки #22177 | Решения Савченко

Условие

1.2.8^∗. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $$L$$ , а затем тормозится с ускорением $$a$$ . При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?

Решение

Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением:

$t_1 = \frac{L}{v_0} t_2 = \frac{v_0}{a}$

Общее время:

$\tau=t_1+t_2=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a}$

Выразим $$v_0$$

$v_0 = \frac{a\tau\pm\sqrt{\tau^2-4\frac{l}{a}}}{2}a$

Найдем минимально возможное не отрицательное $\tau$

$\tau^2-4\frac{l}{a}=0$
$\tau = 2\sqrt{\frac{L}{a}}$
Подставим $\tau$ и найдем $$v_0$$
$v_0= \frac{2a\sqrt{\dfrac{L}{a}}\pm\sqrt0}{2}=\sqrt{La}$

Альтернативное решение

Общее время:

$\tau=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a}$
Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши:
$\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} \geq 2\sqrt{\frac{L}{a}}$
Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве:
$\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{\frac{L}{a}}$
Решая уравнение, мы получим:
$v_0 = \sqrt{La}$

Ответ

$v_0 = \sqrt{La}$ .