Решение

Камень нужно бросать под углом $\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в 1.3.6:

$$v_x = v \cos\alpha; \quad v_y = v \sin\alpha - gt;$$

$$x = vt \cos\alpha ; \quad y = vt \sin\alpha - gt^2 / 2.$$

Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как

$$t_1 = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$$

Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{\text{max}} = 2R$, поэтому

$$\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 2R$$

Определяем значение начальной скорости броска

$$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 \alpha}}$$

Угол $\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий

$$v_0t_1 \cos\alpha = \frac{v_0^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g};$$

$$2R = \frac{v_0^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g};$$

$$\tan\alpha = 2; \quad \alpha = \arctan 2 \approx 63^\circ$$

Подставляя в формулу для $v_0$

$$\fbox{$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 63^\circ}} = \sqrt{5Rg}$}$$