$1.3.27^*.$ Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
### Решение:
Камень нужно бросать под углом $\\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в [1.3.6](../1.3.6):
$$
v_x = v \\cos\\alpha; \\quad v_y = v \\sin\\alpha - gt;
$$
$$
x = vt \\cos\\alpha ; \\quad y = vt \\sin\\alpha - gt^2 / 2.
$$
Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как
$$
t_1 = \\frac{v_0 \\sin\\alpha}{g}
$$
Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{\text{max}} = 2R$, поэтому
$$
\\frac{v_0^2 \\sin^2 \\alpha}{2g} = 2R
$$
Определяем значение начальной скорости броска
$$
v_0 = \\sqrt{\\frac{4gR}{\\sin^2 \\alpha}}
$$
Угол $\\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий
Эта задача есть развитие задачи $1.3.26$. В вершине шара вершина параболы движения, поэтому можно расмотреть только одну сторону движения.
+
+
Обращение времени. Если мы сбросим с вершины шара тело с минимальной скоростью, то и на земле скорость окажется минимальной по закону сохранения энергии или формулам движения (обратив время опять, окажется что эта скорость на земле и есть искомая).
+
+
По задаче $1.3.26$ сбросить минимум нужно со скоростью горизонтальной $\sqrt{gR}$.
+
+
По закону сохранения энергии (или по формулам движения) у земли тогда будет скорость
+
+
$$
+
V^2 = gR + 2g2R = 5gR.
+
$$
+
+
При рассмотрении обратно это и есть минимальная скорость.
+
+
+
#### Литература
+
+
[1] В.А. Бодик. Вокруг одной задачи. «Квант», 1987, №9.
### Условие:
### Условие:
$1.3.27^*.$ Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
$1.3.27^*.$ Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
### Решение:
### Решение:
Камень нужно бросать под углом $\\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в [1.3.6](../1.3.6):
Камень нужно бросать под углом $\\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в [1.3.6](../1.3.6):
$$
$$
v_x = v \\cos\\alpha; \\quad v_y = v \\sin\\alpha - gt;
v_x = v \\cos\\alpha; \\quad v_y = v \\sin\\alpha - gt;
$$
$$
$$
$$
x = vt \\cos\\alpha ; \\quad y = vt \\sin\\alpha - gt^2 / 2.
x = vt \\cos\\alpha ; \\quad y = vt \\sin\\alpha - gt^2 / 2.
$$
$$
Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как
Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как
$$
$$
t_1 = \\frac{v_0 \\sin\\alpha}{g}
t_1 = \\frac{v_0 \\sin\\alpha}{g}
$$
$$
Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{\text{max}} = 2R$, поэтому
Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{\text{max}} = 2R$, поэтому
$$
$$
\\frac{v_0^2 \\sin^2 \\alpha}{2g} = 2R
\\frac{v_0^2 \\sin^2 \\alpha}{2g} = 2R
$$
$$
Определяем значение начальной скорости броска
Определяем значение начальной скорости броска
$$
$$
v_0 = \\sqrt{\\frac{4gR}{\\sin^2 \\alpha}}
v_0 = \\sqrt{\\frac{4gR}{\\sin^2 \\alpha}}
$$
$$
Угол $\\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий
Угол $\\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий
Эта задача есть развитие задачи $1.3.26$. В вершине шара вершина параболы движения, поэтому можно расмотреть только одну сторону движения.
Обращение времени. Если мы сбросим с вершины шара тело с минимальной скоростью, то и на земле скорость окажется минимальной по закону сохранения энергии или формулам движения (обратив время опять, окажется что эта скорость на земле и есть искомая).
По задаче $1.3.26$ сбросить минимум нужно со скоростью горизонтальной $\sqrt{gR}$.
По закону сохранения энергии (или по формулам движения) у земли тогда будет скорость
$$
V^2 = gR + 2g2R = 5gR.
$$
При рассмотрении обратно это и есть минимальная скорость.
#### Литература
[1] В.А. Бодик. Вокруг одной задачи. «Квант», 1987, №9.
